37. Замена переменных. Канонические координаты
Вид оператора однопараметрической группы
действующей в плоскости, зависит от выбора координат. Выясним, как изменится вид оператора (37.1), если от координат х, у перейти к координатам 
по формулам
Пусть в новых переменных оператор (37.1) имеет вид
Ему соответствуют дифференциальные уравнения группы
Уравнение Лиувилля (35.2) в данном случае имеет вид
Таким образом,
где в правых частях х и у необходимо (после применения оператора) выразить через 
из (37.2). Таким образом, в новых переменных оператор (37.1) имеет вид
Пример. Выразить оператор
в полярных координатах
Последовательно находим
т. е. 
оказывается инвариантом этой группы. Вид оператора в полярных координатах таков:
Канонические координаты группы. Естественно поставить во прос о нахождении таких координат, в которых группа имела бы простейший вид. Для этого в (37.3) достаточно положить
Найдя из этих уравнений и 
и рассматривая их в качестве новых координат (37.2), получаем в них следующий вид оператора (37.3):
Координаты группы, в которой она является группой трансляций (или группой параллельных переносов), и называются каноническими.
В 
-мерном случае
условия перехода к каноническим координатам
выглядят так:
функции 
представляют собой 
функционально независимых инвариантов рассматриваемой группы, которые всегда существуют. Это следует из известной теоремы из теории обыкновенных дифференциальных уравнений о том, что система уравнений 
-го порядка в окрестности любой неособой точки имеет ровно 
локальных первых интегралов.
Сам результат о подобии любой одночленной группы группе параллельных переносов вдоль одной из осей эквивалентен теореме о выпрямлении векторного поля.
Таким образом, роль канонических координат группы играет 
ее функционально независимых инвариантов и одна функция, определяющая инвариантное семейство.
Существует еще один простейший вид, к которому можно приводить оператор (37.5). Предположим, что группа имеет к
собственных функций (см. разд. 35):
где 
— инварианты (любая функция от инвариантов — инвариант).
Дополнив систему собственных функций инвариантами, получим уравнения
определяющие совокупность переменных, при переходе к которым оператор (35.5) имеет вид
называемый диагональным.
