32. Группа Ли. Примеры

Нетрудно заметить, что в примерах 4—6 на множестве элементов, составляющих группу, можно совершенно независимо от аксиом группы ввести понятие близости между любыми двумя элементами, в силу которого групповые операции оказываются непрерывными функциями, что позволяет на такие группы (они называются топологическими) смотреть одновременно с двух точек зрения: с точки зрения алгебры и с точки зрения анализа. Такое объединение оказывается весьма плодотворным. Это и используется самым существенным образом в теории групп Ли. В настоящее время под термином группа Ли понимают более широкий объект, чем тот, который ввел сам Ли и который и будет рассматриваться дальше нами.

Под множеством на котором вводится операция, удовлетворяющая аксиомам группы, будет пониматься множество преобразований -мерного вещественного арифметического пространства в себя:

Для упрощения записи мы будем часто пользоваться случаем т. е. плоскости. Поскольку никакие специфические свойства, связанные с размерностью 2, далее не используются, то все дальнейшее переносится без изменений на общий случай.

Переход от одного преобразования к другому осуществляется изменением параметра а. Если этот параметр скалярный, то множество преобразований называется однопараметрическим. Параметр может быть векторным: Размерность этого

вектора и определяет размерность множества преобразований. При этом все должны быть существенными, т. е. несводимыми при помощи преобразований к меньшему числу.

Операция, вводимая на множестве преобразований (32.1), есть композиция двух преобразований. Пусть, например, после преобразования по формулам (32.1) с некоторым фиксированным а выполняется преобразование

Если композиция преобразований, определяющая преобразование

есть преобразование из того же самого множества (отвечающее какому-то другому значению параметра с), т. е.

то это и означает, что на рассматриваемом множестве преобразований определена операция (композиция двух преобразований множества не выводит за пределы этого множества).

Для того чтобы не интересоваться областью определения правых частей (32.1) как по переменным, определяющим точку преобразовываемого пространства так и по параметру а, предполагают, что преобразования определены на некотором открытом множестве и в достаточно малой окрестности некоторой точки а. Тем самым формулы типа (32.1) определяют локальное семейство локальных преобразований.

Определение. Множество преобразований (типа (32.1)) называется локальной группой преобразований Ли (в дальнейшем коротко: группой Ли), если:

1) Композиция любых двух преобразований определяет операцию на этом множестве, т. е. есть преобразование из этого же множества.

2) Рассматриваемому множеству преобразований принадлежит тождественное (единица группы).

3) Для любого преобразования из множества существует обратное, принадлежащее этому же множеству, т. е. их композиция представляет собой тождественное преобразование.

4) Функции (32.1) являются аналитическими по переменным в некотором открытом множестве изменения переменных х, у и в некоторой окрестности параметра а, соответствующего тождественному преобразованию.

Заметим, что требование ассоциативности операции, необходимое при общем определении группы, здесь излишне, поскольку композиция преобразований этому свойству, очевидно, удовлетворяет.

Важнейшие примеры групп Ли.

A. Группа трансляций:

B. Группа растяжений (если — группа подобия):

C. Группа вращений:

Принято обозначение этой группы — что означает, специальная, ортогональная, действующая в

Группа линейных преобразований:

Обозначение общая, линейная. Если дополнительно потребовать то получаем группу — специальная линейная.

E. Группа движений:

F. Аффинная группа:

G. Проективная группа:

H. Группа отображений, сохраняющих площадь.

I. Группа Лоренца:

Групповая операция. Композиция двух преобразований (32.1) и (32.2) с параметрами определяет преобразование (32.3) с параметром с, зависящим от

Эта функция, аналитическая в окрестности , и представляет собой выражение групповой операции. В примере группы вращений

Следовательно, групповая операция есть

В примере группы Лоренца

групповая операция имеет вид

Пусть тождественному преобразованию соответствует значение параметра

Тогда для нахождения обратного преобразования из (32.4) получаем

В примере группы вращений тождественному преобразованию соответствует значение параметра , поэтому для обратного преобразования имеем Так же вычисляется обратный элемент и в группе Лоренца.