5. Расстояние между двумя точками в пространстве
С помощью координат в пространстве, как и на плоскости, можно решать многие геометрические задачи. Рассмотрим одну из них.
Пусть требуется найти расстояние между точками 
гг) и 
в пространстве.
Проведем через каждую из точек 
по три плоскости, параллельные координатным плоскостям (рис. 11). Эти шесть плоскостей, пересекаясь, образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю которого является отрезок 
. Из стереометрии известно, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его ребер, выходящих из одной вершины.
Поэтому
Спроектировав концы ребер 
параллелепипеда соответственно на оси 
получим на этих осях отрезки АВ, CD и EF, причем
Рис. 11
Следовательно, квадрат искомого расстояния d
или
Отсюда окончательно получим
(6)
Пример. Найти расстояние d между точками 
.
Решение. По формуле (6) получим
