4. Касательная плоскость а нормаль к поверхности

Пусть поверхность задана уравнением

левая часть которого является функцией, дифференцируемой в некоторой области. Эта функция определяет скалярное поле, для которого данная поверхность (50) является одной из поверхностей уровня.

Рис. 225

Пусть в точке не равен нулю. Тогда, согласно п. 3, все касательные, проведенные в точке к линиям, лежащим на поверхности (50) и проходящим через точку расположены в одной плоскости, перпендикулярной Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке (рис. 225).

Найдем уравнение этой плоскости. Искомая плоскость проходит, очевидно, через точку поэтому ее уравнение имеет вид:

(см. гл. IV, § 1, п. 2, формула (4)).

Так как вектор

по условию перпендикулярен касательной плоскости, то его можно принять за нормальный вектор этой плоскости, т. е. можно положить Тогда уравнение (51) примет следующий вид:

Это и есть уравнение касательной плоскости к поверхности (50) в точке

Пусть поверхность (50) имеет в некоторой ее точке касательную плоскость. Прямая, проходящая через точку перпендикулярно этой касательной плоскости, называется нормалью к поверхности (50) в точке Вектор очевидно, направлен вдоль нормали и поэтому может быть принят в качестве ее направляющего вектора. Итак, канонические уравнения нормали имеют следующий вид:

Пример 1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к однополостному гиперболоиду в точке

Решение. В п. 3 (см. пример 1) был найден градиент функции в точке . При этом оказалось, что

Поэтому искомые уравнения касательной плоскости и нормали будут следующими:

или

или

Итак, является направляющим вектором нормали. Поэтому единичный вектор нормали мы найдем, разделив вектор на его длину:

Рассмотрим теперь случай, когда поверхность задана уравнением

Этот случай можно свести к предыдущему, записав уравнение (55) в виде

и положив

Тогда

и, следовательно,

Поэтому уравнение касательной плоскости в точке запишется в виде

или

а уравнение нормали — в виде

Единичный вектор нормали в этом случае находится по формуле

а его направляющие косинусы — по формулам

Пример 2. Найти уравнение касательной плоскости к эллиптическому параболоиду в точке .

Решение. Положив , получим следовательно, Теперь, пользуясь формулой (57), легко получим уравнение касательной плоскости

или