§ 4. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Полное приращение функции
При нахождении частных производных рассматривались частные приращения функции нескольких переменных, когда лишь один из аргументов изменялся, остальные же оставались фиксированными (постоянными). Теперь мы рассмотрим полное приращение, которое получает функция при изменении всех ее аргументов.
Пусть дана функция двух переменных 
. Предположим, что ее аргументы 
получают соответственно приращения 
Тогда функция 
получает полное приращение 
которое определяется следующей формулой:
Рис. 220
Геометрически полное приращение функции 
равно приращению аппликаты графика функции 
при переходе из точки 
в точку 
(рис. 220).
Пример. Найти полное приращение функции 
при условии, что 
имеет приращение 
— приращение 
.
Решение. Применяя формулу (12), получим
Мы видим, что полное приращение 
данной функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: первого слагаемого 
линейного относительно приращений аргументов 
и второго слагаемого 
не линейного относительно 
. Оба эти слагаемые, очевидно, стремятся к нулю при 
. Однако второе слагаемое при этом стремится к нулю быстрее, чем первое. Это наглядно видно из следующей таблицы, в которой приведены значения полного приращения данной функции 
в точке 
а также значения его линейной части 
и нелинейной части 
для различных значений 
:
