Главная > Краткий курс высшей математики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Вычисление двойного интеграла как предела интегральной суммы, так же как и в случае определенного интеграла, связано обычно с большими трудностями. Чтобы их избежать, вычисление двойного интеграла сводят к последовательному вычислению двух определенных интегралов. Покажем, как это делается. Для простоты при выводе ограничимся случаем, когда в области интегрирования а подынтегральная функция . Такое предположение позволяет нам рассматривать двойной интеграл как объем цилиндрического тела.

Итак, требуется вычислить двойной интеграл от непрерывной функции .

Предположим сперва, что область интегрирования а ограничена двумя непрерывными кривыми и двумя прямыми причем для всех значений заключенных между а и имеет место неравенство (рис. 231).

Проведем через точку оси прямую, параллельную Эта прямая встречает кривые, ограничивающие область а, соответственно в точках Точку будем называть точкой входа, а точку — точкой выхода. Их ординаты обозначим соответственно и увых. Ордината точки входа равна а ордината точки выхода равна Известно, что двойной интеграл численно равен объему V цилиндрического тела, ограниченного частью поверхности , которая проектируется в площадку а (см. рис. 227):

Рис. 231

Подсчитаем теперь объем У цилиндрического тела иначе, а именно, с помощью метода поперечных сечений (см. гл. VIII, § 3, п. 3).

Как мы знаем, если сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, проходящей через точку с абсциссой имеет площадь , то объем V тела выражается формулой

Применим эту формулу к вычислению объема цилиндрического тела. Проведя через точку плоскость, перпендикулярную оси мы получим в сечении криволинейную трапецию (рис. 232). Аппликата точек линии МХМ при постоянном является функцией только от причем у изменяется в границах от до увых Площадь трапеции очевидно, равна определенному интегралу:

Итак, формула (7) выражает площадь поперечного сечения цилиндрического тела.

Подставляя в формулу (6) выражение для получим

Но так как, с другой стороны, объем V цилиндрического тела равен двойному интегралу то имеем

или

Эта и есть искомая формула.

Рис. 232

Поясним смысл формулы (I). Для того чтобы вычислить двойной интеграл нужно сперва вычислить определенный интеграл считая постоянным (или, как говорят, вычислить внутренний интеграл).

Нижней границей интегрирования является ордината точки входа а верхней границей интегрирования является ордината точки выхода увых соответствующие данному фиксированному значению Результат вычисления этого интеграла является функцией только от Интегрируя теперь эту функцию в границах от а до b, получим значение двойного интеграла. Сделаем следующие замечания.

Замечание 1.

Если область о ограничена двумя кривыми двумя горизонтальными прямыми причем для всех у между (рис 233), то аналогично можно доказать, что имеет место равенство

или

Здесь при внутреннем интегрировании у следует считать постоянным. Результат этого интегрирования будет функцией от у, которую затем следует проинтегрировать в границах от с до d.

Рис. 233

Рис. 234

Интегралы, стоящие в правых частях формул (I) и (II), называют повторными или двукратными интегралами.

Замечание 2. Следует обратить внимание на то, что в формулах (I) и (II) границы внешнего интеграла всегда постоянны.

Замечание 3. Формулы (I) и (II) выведены в предположении, что область а имеет специальный вид. Если контур области а более сложный (рис. 234), то поступают так: область разбивают на конечное число частей, удовлетворяющих условиям, при которых была выведена формула (I) или (II). Затем вычисляют интеграл по формуле (I) или (II) для каждой из таких областей. Интеграл же по всей области, в силу свойства аддитивности, равен сумме интегралов по каждой из этих частей. Для случая, приведенного на рис. 234, имеем:

Замечание 4.

Если областью интегрирования а служит прямоугольник, ограниченный прямыми (рис. 235), то формулы (I) и (II) для этого случая примут вид:

Рассмотрим примеры на вычисление двойных интегралов. Пример 1. Вычислить двойной интеграл если областью интегрирования а является треугольник, ограниченный прямыми (рис. 236).

Рис. 235

Рис. 236

Решение. Если при вычислении двойного интеграла пользоваться формулой (I), то здесь как точки входа лежат на оси Ох, а точки выхода — на прямой

Поэтому, применяя формулу (I), имеем

Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем постоянным:

Следовательно,

Применяя для вычисления двойного интеграла формулу (II), получим, конечно, тот же результат. Замечая, что в этом случае (так как точка входа лежит на прямой или , а точка выхода на прямой (см. рис. 236), получим

Так как

то

Если принять во внимание геометрический смысл двойного интеграла, то дает объем V цилиндрического тела, ограниченного сверху частью параболоида вращения которая проектируется на плоскость в треугольник .

Рис. 237

Пример 2. Вычислить двойной интеграл если область интегрирсвания а ограничена линиями (рис. 237).

Решение. Применим для вычисления двойного интеграла формулу (I). Здесь . Поэтому

Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем я постоянным:

Следовательно,

Если при вычислении двойного интеграла пользоваться формулой (II), то придется область интегрирования а разбить на две части и (см. рис. 237), так как линия ОАВ, на которой расположены точки выхода на отдельных участках, задается различными уравнениями. По свойству аддитивности

Применяем формулу (II) к каждому из интегралов, стоящих в правой части последнего равенства:

так как Вычисляем внутренний интеграл, помня, что у — постоянно:

Следовательно,

Аналогично находим

Следовательно,

Таким образом, окончательно,

Этот пример показывает, что для нахождения двойного интеграла в данном конкретном случае выгоднее применить формулу (I). Это следует иметь в виду при вычислении двойных интегралов и пользоваться той из формул (I) или (II), применение которой ведет к менее громоздким вычислениям.

1
Оглавление
email@scask.ru