2. Поворот осей координат
Пусть на плоскости заданы две системы координат, имеющие общее начало О: система Оху (старая) и система OXY (новая), которая получена поворотом старой системы на угол а. Это значит, что угол 
(рис. 34) и, следовательно, угол 
.
Рис. 34
Найдем формулы, выражающие старые координаты х и у произвольной точки М плоскости через ее новые координаты X и Y.
Введем полярные координаты: старые — с полярной осью, совпадающей с осью 
и новые — с полярной осью, совпадающей с осью ОХ. Пусть точка М в новой полярной системе имеет полярный угол 
и полярный радиус 
. В старой полярной системе полярный угол точки М будет равен 
полярный радиус будет таким же, как и в новой системе.
Поэтому по формулам (7) будем иметь:
Используя тригонометрические тождества для косинуса и синуса суммы двух углов, получим:
Но 
, поэтому
Формулы (19) называются формулами поворота осей.
Пример. Выразить старые координаты точки х и у через ее новые координаты X и Y при повороте осей на угол 
.
Решение. Так как 
по формулам (19) получим:
