2. Равенство матриц. Действия над матрицами
Равенство матриц.
Две матрицы А и В называются равными 
если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов и их соответствующие элементы равны.
Так, если 
то 
если 
Сложение матриц.
Если даны две квадратные матрицы одного порядка, например
то их суммой называется матрица
Аналогично определяется сумма двух прямоугольных матриц, имеющих одинаковое число строк и одинаковое число столбцов.
Пример 1. 
Пример 2. 
Легко проверить, что сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам:
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей и обозначается (0), или просто 0.
Нуль-матрица при сложении матриц выполняет роль обычного нуля при сложении чисел:
Например:
Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы
на число у, называется матрица
Мы рассмотрели правило умножения матрицы на число для случая квадратной матрицы второго порядка. Совершенно так же умножаются на число квадратные матрицы третьего порядка и прямоугольные матрицы.
При умножении матрицы на нуль получается нуль-матрица:
Умножение матриц.
Рассмотрим правило перемножения двух квадратных матриц второго и третьего порядков.
Пусть даны две матрицы
По определению, произведением матрицы А на матрицу В называется матрица 
, элементы которой составляются следующим образом:
Если даны матрицы третьего порядка
то матрица 
составляется следующим образом:
Как мы видим, элемент матрицы-произведения, находящийся на пересечении i-й строки и 
столбца, представляет собой сумму парных произведений элементов i-й строки первой матрицы на элементы 
столбца второй матрицы.
Например, элемент, стоящий во второй строке и первом столбце матрицы произведения 
равен сумме произведений элементов второй строки матрицы Л на элементы первого столбца матрицы В.
Эти правила сохраняются и для умножения прямоугольных матриц, в которых число столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.
Пример 1.
Пример 2.
В результате перемножения двух: матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица-множимое, а столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.
Рассмотрим еще примеры умножения матриц.
Пример 3.
Пример 4.
Эти примеры, показывают, что произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону:
Можно проверить, что умножение матриц подчиняется сочетательному закону
и распределительному закону
При умножении матриц второго порядка особое значение имеет квадратная матрица
Легко проверить, что при умножении любой квадратной матрицы А второго порядка на матрицу Е снова получится матрица А:
Матрица Е называется единичной матрицей.
Единичная матрица третьего порядка имеет вид
Очевидно, что определитель единичной матрицы
Можно показать, что если А и В — две квадратные матрицы одного порядка с определителями 
, то определит ель матрицы 
будет равен произведению определителей перемножаемых матриц, т. е.
Пример 5. Пусть 
мы видели в примере 3,
Определители этих матриц таковы:
Итак, действительно,
Отметим следующий любопытный факт. Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т. е. произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.
, то
