§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Важным частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.

Определение. Степенным рядом называется ряд вида

где а и коэффициенты ряда - постоянные. В частности, при степенной ряд имеет вид

1. Область сходимости степенного ряда

Изучим сперва свойства степенных рядов вида (68)

Прежде всего выясним, какой вид имеет область сходимости степенного ряда (68). Для этого рассмотрим знакоположительный ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (68):

и применим к нему признак Даламбера. Для этого найдем предел отношения последующего члена к предыдущему при

Предположим, что существует Обозначим его через

Тогда

На основании признака Даламбера заключаем, что если , т. е. если , то ряд (69) сходится. Но в таком случае по общему достаточному признаку сходимости знакопеременных рядов ряд (68) также сходится при причем, очевидно, сходится абсолютно. Если , то ряд (69) расходится. Так как в этом случае для всех достаточно больших члены ряда (69) возрастают (см. стр. 505), то общий член не стремится к нулю при Следовательно, не стремится к нулю и общий член ряда (68), т. е. апхп. Поэтому для всех значений удовлетворяющих неравенству степенной ряд (68) расходится.

Рис. 261

Если, наконец, т. е. если то здесь признак Даламбера неприменим и как ряд (69), так и ряд (68) могут сходиться или расходиться в зависимости от конкретных случаев.

Таким образом, в предположении, что существует и не равен нулю, доказана следующая теорема.

Теорема. Областью сходимости степенного ряда

является интервал к которому, в зависимости от конкретных случаев, могут быть добавлены концевые точки — R и R (рис. 261). В каждой точке интервала ряд сходится абсолютно.

Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины, т. е. число - радиусом сходимости.

Ясно, что всякий степенной ряд (68) сходится при так как при получается числовой ряд

Если других точек сходимости нет, то в этом случае будем считать, что радиус сходимости

Если степенной ряд сходится во всех точках числовой оси, то будем считать, что радиус сходимости .

Рассмотрим примеры на отыскание области сходимости степенных рядов.

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (70):

Здесь тогда

Таким образом, ряд (71), а следовательно, и ряд (70) сходится для , т. е. в интервале , и расходится для . Радиус сходимости ряда Исследуем теперь сходимость ряда на концах интервала сходимости, т. е. в точках

Подставляя в ряд получим расходящийся обобщенный гармонический ряд

(так как , см. § 1, п. 5, стр. 508.)

В точке получим знакочередующийся ряд

который сходится на основании признака сходимости Лейбница.

Таким образом, окончательно, областью сходимости ряда (70) является интервал , к которому добавляется левая концевая точка

Пример 2. Найти область сходимости ряда

Решение. Найдем предел отношения последующего члена к предыдущему для ряда, члены которого равны абсолютным величинам членов данного ряда:

Итак, для любого значения . Следовательно, на основании признака Даламбера ряд (73), а значит и ряд (72) сходятся на всей числовой оси. Здесь радиус сходимости