4. Основные свойства неопределенного интеграла

Приведем два свойства неопределенного интеграла, которые позволят значительно расширить возможности применения формул таблицы основных интегралов.

Свойство А. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности, т. е.

Свойство В. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т. е.

(предполагается, что постоянная

Равенства (А) и (В) следует понимать в том смысле, что левая и правая их части отличаются на постоянное слагаемое. Поэтому, чтобы установить справедливость этих равенств, достаточно показать, что производная (или дифференциал) левой части равна производной (или дифференциалу) правой части (см. гл. VI, § 6, п. 3).

Докажем, например, справедливость равенства (В). Дифференцируя левую часть равенства (В) и применяя формулу (4), имеем

Дифференцируя правую часть равенства (В), получим

Итак,

откуда следует равенство (В).

Пример. Найти

Решение. Применяя свойства (А) и (В), имеемг

Но (см. формулу ).

По формуле (III)

Таким образом,

При каждом интегрировании мы получали свою произвольную постоянную. Но в конечном итоге мы пишем только одну произвольную постоянную, так как если - произвольные постоянные, то и также является произвольной постоянной.

Поэтому окончательно:

Правильность полученного результата нетрудно проверить дифференцированием. Действительно,