4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка
Покажем, как с помощью преобразований квадратичных форм можно упростить общее уравнение кривой второго порядка
Если это уравнение не содержит члена с произведением координат, т. е. коэффициент 
то, дополняя члены, содержащие х и у, до полных квадратов, мы можем привести уравнение (135) к каноническому виду (см. гл. II, § 2, п. 10).
Пусть теперь в уравнении (135) коэффициент 
. В этом случае для приведения уравнения к виду, не содержащему члена с произведением координат, поступаем следующим образом.
Рассматривая квадратичную форму 
составленную из старших членов левой части уравнения (135), приводим ее методами, изложенными в предыдущем пункте, к сумме квадратов. При этом общее уравнение кривой второго порядка (135) преобразуется к виду, в котором будет отсутствовать член с произведением координат.
Пример. Привести к каноническому виду общее уравнение кривой второго порядка
Решение. Квадратичная форма, составленная из старших членов данного уравнения, имеет вид
Здесь 
матрица 
Составляем характеристическое уравнение (132):
Корни этого уравнения 
. Квадратичная форма в новой системе координат 
запишется, согласно формуле (128), в виде
Найдем матрицу 
перехода от старой системы координат Оху к новой Оху. Для этого составим системы уравнений (130), (131):
или
Каждая из этих систем сводится к одному уравнению. Первая система к уравнению 
, а вторая — к уравнению 
.
Согласно п. 2, матрица L ортогональна. Поэтому должны иметь место равенства:
Так как в то же время 
находим
или, выбирая для определенности перед корнем знак «плюс», получим
Итак, формулы преобразования координат в данном случае принимают вид
Найдем теперь, какой вид в новой системе координат примут младшие члены общего уравнения кривой:
Рис. 80
Таким образом, в новой системе координат 
уравнение линии запишется в виде
или
Выделяя в членах, содержащих 
полный квадрат, получим
Таким образом, данная линия является эллипсом, центр которого в новой системе координат находится в точке 
Для того чтобы установить расположение эллипса относительно старой системы координат, надо определить положение новых осей относительно старой системы. Для этого достаточно установить углы между ортами 
старой системы 
и 
новой системы координат.
Согласно формулам (112)
Следовательно, углы, которые оси новой системы образуют с осями старой, таковы:
Расположение осей и эллипса приведено на рис. 80.
