2. График функции двух переменных

График функции одной переменной в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости есть, вообще говоря, кривая. Графиком функции двух переменных в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является в общем случае поверхность.

В самом деле, пусть функция определена в области О (рис. 214). Каждойточке этой области соответствует определенное значение функции Примем это значение за аппликату некоторой точки М в системе координат Охуг. Абсциссу и ординату для этой точки возьмем такими же, как и для точки Р. (Таким образом, точка Р является проекцией точки на плоскость

Тогда каждой точке Р области G будет соответствовать вполне определенная точка М в пространстве. Всей области будет соответствовать некоторое множество точек М, образующее, вообще говоря, поверхность.

Эта поверхность называется графиком функции .

Если поверхность является графиком некоторой функции двух переменных, то уравнение, задающее эту функцию, называется уравнением соответствующей поверхности.

В аналитической геометрии уже рассматривались некоторые поверхности, которые являются графиками функций двух переменных. Напомним некоторые из них.

Эллиптический параболоид является графиком функции (р и q — постоянные одинакового знака) (см. рис. 100).

Гиперболический параболоид является графиком функции ( — постоянные одинакового знака) (см. рис. 101).

Верхняя часть эллипсоида (см. рис. 96) является графиком функции

а нижняя его часть — графиком функции