§ 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Точки разрыва

1. Основные определения

При рассмотрении предела функции одной переменной было введено понятие окрестности точки. Под окрестностью точки там понимался интервал , содержащий эту точку. При дении понятия предела для функции двух переменных мы будем рассматривать окрестность точки в плоскости

Рис. 215

Окрестностью точки называется внутренность круга с центром в этой точке. Если радиус этого круга равен , то говорят - окрестность точки (рис. 215). Очевидно, что любая точка принадлежащая -окрестности точки находится от этой точки на расстоянии, меньшем .

Определение. Число b называется пределом функции двух переменных при если для любого числа найдется такая b - окрестность точки что для любой точки этой окрестности (за исключением, быть может, точки ) имеет место неравенство

или

При этом пишут или так как при очевидно,

Функция двух переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Заметим, что если число b есть предел функции то, как это следует из определения предела, разность является бесконечно малой, когда точка Р произвольным образом неограниченно приближается к точке

Пример 1. Найти

Решение. Предел функции находится при т. е. при где расстояние между точками . В данном случае точка есть начало координат. Следовательно, . Таким образом,

Следует обратить внимание на то, что в разобранном примере функция у не определена в точке но имеет предел

Пример 2. Функция определена и непрерывна на всей плоскости, за исключением начала координат. Покажем, что при приближении точки к началу координат функция не имеет предела. Действительно, приближаясь к началу координат по оси , где получим . Если же приближаться к началу координат по оси , где то .

Таким образом, при приближении точки к началу координат по различным направлениям функция имеет различные предельные значения и, следовательно, не имеет предела при

Определение предела функции переменных при будет тождественным определению предела функции двух переменных, если ввести понятие -окрестности точки пространства измерений. Назовем расстоянием между двумя точками в пространстве измерений выражение, равное Очевидно, что при это выражение совпадает с известными формулами расстояния между двумя точками на плоскости и в пространстве.

Определение. -окрестностыо точки в пространстве измерений называется множество всех точек расстояние каждой из которых от точки меньше :

Очевидно, что в пространстве трех измерений () -окрестностью точки будет множество всех внутренних точек шара с центром в точке и радиусом .

Для функций нескольких переменных остаются справедливыми правила предельного перехода, установленные для функций одной переменной (см. гл. V, § 1, п. 6).