ГЛАВА IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. ПЛОСКОСТЬ

1. Уравнение поверхности

Как мы видели в гл. I, § 5, уравнение вообще говоря, определяет на плоскости некоторую линию, т. е. геометрическое место точек плоскости координаты которых х и у удовлетворяют этому уравнению. Подобно этому уравнение

вообще говоря, определяет в пространстве Охуг некоторую поверхность, т. е. геометрическое место точек, координаты которых х, у, z удовлетворяют уравнению Уравнение (1) называется уравнением этой поверхности, а и - текущими координатами.

Часто, однако, поверхность задается не уравнением, а как геометрическое место точек, обладающих тем или иным свойством. В этом случае требуется найти уравнение поверхности, исходя из ее геометрических свойств.

Пример. Найти уравнение шаровой поверхности (сферы) радиуса R с центром в точке

Решение. Согласно определению сферы, расстояние любой ее точки от центра равно радиусу . Но

(см. гл. I, формула (6)).

Следовательно,

или

(2)

Мы получили искомое уравнение сферы, так как ему удовлетворяют координаты любой ее точки и, очевидно, не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

В частности, если центр сферы совпадает с началом координат, то уравнение сферы (2) примет следующий вид: