7. Предел функции при x -> 0

Часто приходится иметь дело с пределом функции при Как мы увидим, он равен 1. Предварительно докажем,

Пусть Рассмотрим окружность единичного радиуса (рис. 111). Дуга АС численно равна центральному углу выраженному в радианах, а отрезок АВ численно равен Так (рис. 111), то

Из неравенств (13) следует, что при . Итак,

Докажем теперь, что Замечая, получим

Теперь перейдем к рассмотрению предела функции при . Так как предел знаменателя дроби равен нулю, то теорема о пределе дроби здесь не применима.

Для разыскания предела функции рассмотрим рис. 111.

Из рисунка непосредственно видно:

Поставим найденные выражения для площадей в неравенства (15):

Неравенства (16) справедливы для всех значений я, заключенных между нулем и у. Разделив все члены этих неравенств на , получим

или

Неравенства (17) были выведены в предположении, что Но они верны и при , так как .

Выше мы видели, что . Применив к частному теорему о пределе дроби, получим .

Обе крайние функции - неравенств (17) при имеют одинаковый предел, равный единице.

Но тогда функция заключенная между функциями согласно теореме 6, п. 6, имеет тот же предел при

С помощью этого предела находятся многие другие пределы. Приведем примеры.

Пример 1. Найти .

Решение. Числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к нулю. Теорема о пределе дроби здесь неприменима. Для нахождения предела преобразуем нашу дробь:

Пример 2. Найти

Решение,