3. Вычисление криволинейного интеграла

Покажем, что вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла.

Пусть дуга задана параметрическими уравнениями причем функции непрерывны и имеют непрерывные производные первого порядка. Предположим, что начальной точке А дуги АВ соответствует значение параметра а конечной точке В — значение и при изменении параметра t от а до переменная точка ) описывает дугу в направлении от А к В. Пусть далее непрерывная функция, заданная вдоль кривой L. Так как - непрерывная функция переменных — непрерывные функции от то сложная функция является непрерывной функцией от t на сегменте осгр. Так как кривая L и функция удовлетворяют условиям теоремы существования криволинейного интеграла, то существует криволинейный интеграл и, следовательно, существует предел интегральной суммы

который не зависит ни от способа разбиения дуги части, ни от выбора промежуточных точек

Разобьем сегмент на частей точками кроме того, обозначим . Этим значениям параметра t соответствуют точки имеющие следующие координаты;

При этом точки делящие дугу, расположены последовательно в направлении от точки А к точке В.

При переходе из точки к точке абсцисса получает приращение Применим к разности теорему Лагранжа о конечном приращении:

Значению параметра соответствует на кривой точка с координатами лежащая на дуге Составим для выбранного разбиения дуги L на части и для выбранных выше точек интегральную сумму:

и перейдем к пределу при условии, что шаг разбиения К сегмента стремится к нулю. Как можно доказать, при этом длины дуг стремятся к нулю, и мы имеем согласно определению криволинейного интеграла

Сумма, стоящая в правой части последнего равенства, является интегральной суммой для непрерывной функции одной переменной заданной на сегменте . Ее предел равен определенному интегралу:

Таким образом,

Это и есть искомая формула, позволяющая свести вычисление криволинейного интеграла к вычислению определенного интеграла . Итак, для того чтобы вычислить криволинейный интеграл надо задать кривую L параметрическими уравнениями и в подынтегральном выражении заменить переменные х, у и z их выражениями через параметр t, a - дифференциалом функции (т. е. положить ). За нижнюю границу в получившемся определенном интеграле нужно принять значение параметра, соответствующее началу дуги, а за верхнюю границу — значение параметра, соответствующее концу дуги.

Аналогично получим,

Складывая почленно равенства (42), (42') и (42"), получим

Если, в частности, дуга L является плоской, заданной параметрическими уравнениями -непрерывные функции, определенные на кривой L, то для вычисления криволинейного интеграла по этой плоской кривой от вектор-функции мы получим формулу

Из формулы (44) легко получить формулу для вычисления криволинейного интеграла в случае, когда плоская кривая задана уравнением . Пусть при перемещении точки по кривой из точки А в точку В х меняется от а до b.

Принимая в этом случае за параметр, получим следующие параметрическйе уравнения кривой причем меняется от а до b. Применяя формулу (44) и замечая, что получим

В частности,

В заключение приведем следующие два почти очевидных свойства криволинейного интеграла.

Свойство 1. Значение криволинейного интеграла зависит от направления, в котором проходится кривая L. Если ту же кривую проходить не от точки А к точке В, а в обратном направлении, от В к А, то значение интеграла изменит знак на противоположный, т. е.

Это объясняется тем, что при изменении направления обхода кривой приращения входящие в интегральную сумму, изменяют свои знаки на противоположные.

Свойство 2 (свойство аддитивности). Если кривая L состоит из нескольких кривых и на каждой из этих кривых криволинейные интегралы существуют, то существует интеграл вдоль всей кривой L ион равен сумме интегралов вдоль каждой из ее частей, т. е.

При этом предполагается, что все кривые проходятся в одном направлении.

Рассмотрим теперь примеры на вычисление криволинейных интегралов.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл , где АВ — один виток винтовой линии от точки до точки

Решение. Вдоль дуги АВ параметр t меняется от 0 до

Применяя формулу (43) и замечая, что получим

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль дуги кубической параболы от точки А (1; 1), до точки

Решение. Применяя формулу (45), получим

Если криволинейный интеграл от вектор - функции к берется по замкнутому контуру L, то он называется циркуляцией векторного поля Ф по замкнутому контуру L и обозначается

Пример 3. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль окружности L, образованной от пересечения цилиндра плоскостью

Решение. Запишем параметрические уравнения окружности

Так как то по формуле (43) получим

Итак, циркуляция вектора вдоль окружности Л равна нулю.