2. Окружность

Раскрыв скобки в уравнении (22) и выполнив некоторые тождественные преобразования, мы получим уравнение окружности в следующем виде:

При сравнении этого уравнения с общим уравнением (21) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия: 1) отсутствует член с произведением координат коэффициенты при равны между собой

Рассмотрим обратную задачу. Пусть в общем уравнении кривой второго порядка отсутствует член с и равны коэффициенты при

Будет ли это уравнение уравнением окружности? Прежде всего отметим, что, не ограничивая общности, можно считать, что в уравнении (а следовательно, и ), так как если бы этого не было, то мы могли бы разделить на А обе части этого уравнения.

Таким образом, можно считать, что уравнение кривой второго порядка имеет следующий вид:

Выделив в левой части этого уравнения две группы членов дополним каждую из них до полного квадрата. Тогда уравнение примет следующий вид:

или

Рассмотрим три возможных случая:

1) . В этом случае уравнение (25), а следовательно, и равносильное ему уравнение (24) определяют окружность с центром в точке и радиусом

В этом случае уравнение (25) имеет вид

Последнему уравнению, а следовательно, и равносильному ему уравнению (24) удовлетворяют координаты единственной точки .

Уравнение (25), а следовательно, и равно сильное ему уравнение (24) не определяют при этом никакой линии, так как правая часть уравнения (25) отрицательна, а левая его часть как сумма квадратов отрицательной быть не может.

Пример 1. Показать, что уравнение определяет окружность, и найти координаты ее центра и радиус.

Решение. Условия здесь выполняются. Преобразуем данное уравнение:

или

Мы получили уравнение окружности с центром и радиусом .

Пример 2. Показать, что уравнение не определяет никакой линии.

Решение. Преобразуем это уравнение:

или

Теперь ясно, что данное уравнение не определяет никакой линии.