4. Канонические уравнения прямой

Пусть - точка, лежащая на прямой L, и - направляющий вектор прямой. Вектор , соединяющий точку М, с переменной точкой прямой L, параллелен вектору s (см. рис. 86). Поэтому проекции векторов МХМ и s пропорциональны. Так как , то

Итак, координаты любой точки прямой должны удовлетворять уравнениям (17), которые называются уравнениями прямой, проходящей через данную точку, или каноническими уравнениями прямой.

Рис. 87

В частном случае, когда направляющий вектор s — единичный, (см. гл. III, формула (62)), уравнения (17) имеют следующий вид:

Направляющими коэффициентами здесь являются направляющие косинусы вектора

Уравнения (17) равносильны системе двух уравнений первой степени, например:

Третье уравнение является следствием уравнений (19).

В уравнении отсутствует координата . Следовательно, оно определяет плоскость Р, параллельную оси Oz (рис. 87).

Эта плоскость, очевидно, проектирует прямую L на плоскость Оху. Точно так же плоскость Q, уравнение которой проектирует прямую L на координатную плоскость Система уравнений (19) определяет прямую L как пересечение плоскостей, проектирующих эту прямую на координатные плоскости Вместо системы (19) можно рассматривать систему

или систему

каждая из которых определяет ту же прямую

Замечание 1. Уравнения (17) можно было бы получить сразу из параметрических уравнений прямой (16) исключением параметра . Действительно, из уравнений 16 находим

или

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси . Тогда и параметрические уравнения (17) примут вид:

Исключая из уравнений (20) параметр получим уравнения прямой в виде:

Однако и в этом случае условимся формально записывать уравнения прямой в каноническом виде

помня, что если в равных отношениях один из знаменателей равен нулю, то и числитель соответствующей дроби равен нулю. Аналогично, каноническим уравнениям прямой

соответствует прямая, заданная уравнениями

Эта прямая параллельна оси . В частности, канонические уравнения оси .

В заключение этого пункта рассмотрим вопрос о том, как перейти от общих уравнений прямой к ее каноническим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку на прямой и направляющий вектор s прямой.

Пусть прямая L задана общими уравнениями (12)

Рис. 88

Координаты точки на прямой L получим из системы уравнений (12), придав одной из координат произвольное значение. Так как прямая перпендикулярна нормальным векторам (рис. 88), то за направляющий вектор s прямой L можно принять векторное произведение

Рассмотрим конкретный пример.

Пример. Привести общие уравнения прямой

к каноническому виду.

Решение. Уравнения прямой в канонической форме имеют вид:

Так как

и поэтому . Точку на прямой найдем, положив в общих уравнениях прямой, например,

Тогда, решая эту систему уравнений, получим

Итак, Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид