3. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков

Дифференциальное уравнение порядка в общем виде записывается следующим образом:

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно

В частном случае дифференциальное уравнение порядка может не содержать в явном виде но обязательно содержит

Общее решение уравнения порядка зависит от произвольных постоянных, т. е. является функцией вида

Решение дифференциального уравнения, получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных называется частным решением.

Для того чтобы из общего решения уравнения выделить частное решение, задаются начальные условия. В случае уравнения порядка начальные условия имеют вид

Дифференцируя общее решение (42) раз и используя начальные условия (43), получим систему уравнений для определения постоянных

Для уравнения порядка (41) имеет место теорема существования и единственности решения, аналогичная соответствующим теоремам для уравнений первого и второго порядков.

Задача Коши для уравнения -го порядка формулируется следующим образом: найти решение дифференциального уравнения (41), удовлетворяющее начальным условиям (43).

Пример. Найти общее решение уравнения третьего порядка

и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. Так как , то Интегрируя, находим . Так как , то и, интегрируя еще раз, получаем . Наконец, после еще одного интегрирования получим общее решение

Это решение зависит от трех произвольных постоянных. Выделим из него частное рещение, удовлетворяющее данным начальным условиям.

Выпишем еще раз общее решение и первую и вторую его производные:

Подставляя в эти соотношения начальные условия последовательно найдем:

Итак, частное решение, соответствующее данным начальным условиям, имеет вид