2. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях

Как мы видели в дифференциальном исчислении, производная от любой элементарной функции есть функция элементарная. Другое дело операция, обратная дифференцированию, — интегрирование. Можно привести многочисленные примеры таких элементарных функций, первообразная от которых хотя и существует, но не является элементарной функцией. Так, например, хотя по теореме существования для функции — существуют первообразные, но они не выражаются в элементарных функциях. Несмотря на это, все эти первообразные хорошо изучены и для них составлены подробные таблицы, помогающие практически использовать эти функции. В дальнейшем мы познакомимся с методами вычисления значений таких функций.

Так, например, большое значение в различных приложениях играет первообразная от функции удовлетворяющая дополнительному условию . Эта функция, в частности, встречается в теории вероятностей и называется интегралом вероятностей. Для нее составлены таблицы значений для различных значений аргумента

Если первообразная для некоторой функции не является элементарной функцией, то говорят, что интеграл не берется в элементарных функциях.