2. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная

Пусть некоторая кривая в пространстве задана параметрически уравнениями (80)

Как мы видели, каждому значению параметра t, принадлежащему области определения функций , соответствует определенная точка , координаты которой находятся по формулам (80). Но каждой точке М соответствует ее радиус-вектор начало которого совпадает с началом координат, а конец с точкой М (рис. 141). Проекции этого вектора на координатные оси совпадают с координатами точки М и, следовательно, определяются по формулам (80).

Таким образом, каждому значению параметра t из области определения функций (80) соответствует определенный вектор

Этот вектор мы будем называть векторной функцией (или вектор-функцией) скалярного аргумента и обозначать символом

Линия L, описываемая концом радиуса-вектора , называется годографом.

Задание векторной функции равносильно заданию трех скалярных функций — его проекций на координатные оси

Рис. 141

Рис. 142

Введем для вектор - функции понятия предела, непрерывности и производной.

Определение. Вектор называется пределом вектор-функции при если

Условимся писать при этом

Пусть вектор-функция определена при и в некотором интервале, содержащем

Определение. Вектор-функция называется непрерывной в точке если

Пусть вектор-функция к является радиусом-вектором точки (рис. 142). При изменении параметра точка М описывает годограф С. Выберем и зафиксируем значение параметра . Ему соответствует вектор и точка М.

Рассмотрим другое значение параметра . Ему соответствует вектор и точка . Рассмотрим вектор равный разности векторов

и назовем его приращением вектор-функции в точке t.

Рассмотрим отношение Оно представляет собой вектор, коллинеарный вектору так как отличается от него скалярным множителем

Определение. Производной вектор-функции по скалярному аргументу t называется новый вектор, равный пределу отношения приращения вектор-функции к соответствующему приращению аргумента при условии, что стремится к нулю.

Производную вектор-функции будем обозначать символом

Таким образом, по определению

Выразим производную вектор-функции через ее проекции на оси координат.

Так как

и

то

и, следовательно,

Поэтому

Таким образом,