§ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
1. Скалярные и векторные величины
При изучении различных разделов физики, механики и технических наук нам встречаются величины, которые полностью определяются заданием их численных значений. Такие величины называются скалярными. Скалярными величинами, например, являются длина, площадь, объем, масса, температура тела и др. Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме численного значения, необходимо знать также их направление в пространстве. Такие величины называются векторными.
Примерами таких величин являются сила, действующая на тело, скорость и ускорение тела при его движении в пространстве, напряжение магнитного поля в данной точке пространства и т. д.
Векторные величины изображаются с помощью векторов. Вектором называется направленный отрезок в пространстве, имеющий определенную длину, т. е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая за конец. Если А — начало вектора и В — его конец, то вектор обозначается символом АВ. Вектор будем также обозначать и одной буквой жирного шрифта а, а в письме — одной буквой с черточкой наверху а.
Рис. 56
Рис. 57
Рис. 58
На рисунке вектор изображается отрезком, снабженным у конца стрелкой (рис. 56).
Длина вектора АВ называется его модулем и обозначается символом 
АВ 
или АВ. Если вектор обозначен через а, то его модуль обозначается 
или а.
Рассматривают также вектор, у которого конец совпадает с началом. Такой вектор-точку называют нуль-вектором и обозначают символом 0. Нуль-вектор не имеет определенного направления, модуль его равен нулю, т. е. 
Векторы а и b, расположенные на одной прямой или парал лельных прямых, называются коллинеарными.
Дадим теперь определение равенства двух векторов.
Два вектора а и b называются равными, если они: 1) имеют равные модули; 2) коллинеарны; 3) направлены в одну сторону.
В этом случае пишут 
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства.
Пример 1. Рассмотрим квадрат ABCD (рис. 57). На основании определения равенства векторов можем написать
Пример 2. Рассмотрим материальную точку, движущуюся с угловой скоростью со по окружности радиуса R (рис. 58). Скорость материальной точки в любой момент времени является вектором, касательным к траектории движения точки и имеющим длину, равную 
Так как направление вектора скорости в разных точках траектории различно, то 
хотя 
Для каждого вектора а (отличного от нуль-вектора) существует противоположный вектор, обозначаемый —а. Вектор —а имеет модуль, равный модулю вектора а, коллинеарен с ним, но направлен в противоположную сторону.
