§ 5. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

1. Параметрические уравнения пространственной кривой

Кривая в пространстве, так же как и на плоскости, может быть задана параметрически. Рассмотрим три функции переменной t:

имеющие одну и ту же область определения.

Каждому значению t из этой области соответствуют определенные значения , а следовательно, и определенная точка в пространстве. При изменении t точка М описывает некоторую кривую С в пространстве. Условимся говорить, что эта кривая задана параметрически уравнениями (80). Переменную t будем называть параметром.

В гл. IV (§ 2, п. 3) уже рассматривались параметрические уравнения прямой в пространстве: Приведем еще один пример. Рассмотрим кривую, заданную параметрически с помощью уравнений

Рис. 140

Эта кривая называется винтовой линией (рис. 140).

При любом значении параметра

Это означает, что винтовая линия расположена на цилиндре

Отсюда следует, что когда точка М движется по винтовой линии, ее проекция N на плоскость перемещается по окружности радиуса а, причем t является полярным углом точки N. При увеличении параметра t на точка N описывает полную окружность, а аппликата z точки М винтовой линии изменяется на величину Эта величина называется шагом винтовой линии.