5. Основные элементарные функции и их графики

Среди функций, заданных аналитически, основную роль в нашем курсе будут играть элементарные функции. Прежде всего рассмотрим основные элементарные функции. Так называются следующие функции:

1. Постоянная (константа) , где С — действительное число.

2. Степенная функция , где — действительное число, отличное от нуля.

3. Показательная функция

4. Логарифмическая функция

5. Тригонометрические функции .

6. Обратные тригонометрические функции

Рассмотрим области определения основных элементарных функций и их графики.

1. Постоянная — это функция, имеющая одно и то же значение для всех значений аргумента. График функции - прямая, параллельная оси абсцисс.

2. Вид области определения степенной функции зависит от показателя . Если принимает различные натуральные значения, то получится ряд функций и т.д., для каждой из которых область определения — вся числовая ось. Для нечетных графики некоторых степенных функций приведены на рис. 19, а для четных — на рис. 20.

Из остальных степенных функций рассмотрим сейчас лишь две:

Первая из них определена на всей числовой оси, за исключением точки График этой функции приведен на рис. 21.

Вторая функция (подразумевается арифметическое значение корня) определена для и имеет график, изображенный на рис. 22.

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 24

3. Показательная функция определена для всех значений На рис. 23 приведены графики показательных функций для и для

Рис. 25

4. Область определения логарифмической функции — бесконечный интервал . Графики (для и для ) изображены на рис. 24.

5. Г рафики тригонометрических функций изображены на рис. 25. Каждая из них определена на всей числовой оси. Функция определена на всей числовой оси, за исключением точек вида а функция — на всей числовой оси, кроме точек — любое целое число). Графики этих функций изображены на рис. 26.

Рис. 26

6. Обратные тригонометрические функции и их графики будут рассмотрены в гл. V, § 2, п. 5.