6. Геометрический смысл производной
В этом пункте мы выясним геометрический смысл производной, который окажется очень полезным при усвоении многих понятий математического анализа и при решении некоторых геометрические задач.
Рис. 132
С этой целью введем определение касательной к кривой в данной точке.
Пусть на плоской кривой С задана точка 
. Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую 
(рис. 132). Если точка М начинает перемещаться по кривой С, а точка 
остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Допустим, что существует прямая L, проходящая через точку 
которая обладает следующим свойством: если точка М при перемещении ее по кривой С неограниченно приближается к точке 
(с любой ее стороны), то угол между прямой L и секущей 
стремится к кулю.
Тогда эта прямая L называется касательной к кривой С в точке 
.
Кратко говоря, касательная есть прямая, занимающая предельное положение секущей.
Замечание. Аналогично определяется касательная и к пространственной кривой.
Рассмотрим теперь график непрерывной функции 
имеющей в точке 
с абсциссой 
кевертикальную касательную (рис. 133).
Рис. 133
Найдем ее угловой коэффициент 
, где а — угол касательной с осью 
Для этого проведем через точку 
и точку М графика с абсциссой 
секущую. Ее угловой коэффициент
где 
— угол секущей с осью 
(рис. 133). При 
в силу непрерывности функции 
также стремится к нулю, и поэтому точка М, перемещаясь по графику, неограниченно приближается к точке 
При этом секущая неограниченно приближается к касательной, т. е. 
и, следовательно, 
. Поэтому угловой коэффициент касательной
Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой 
равен значению производной этой функции в точке 
Замечание. Мы показали, что если график непрерывной функции 
имеет певертикальную касательную в точке с абсциссой 
, то в этой точке существует производная 
равная угловому коэффициенту касательной 
Можно показать, что и обратно, если в точке 
функция имеет производную, то ее график в точке с абсциссой 
имеет невертикальную касательную.
Пример. Найти угловой коэффициент касательной к параболе 
в точке 
.
Решение. Мы уже видели (см. п. 4, пример 2), что
Остается лишь заметить, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке 
равен значению производной этой функции в точке 
Рис. 134
В конце п. 5 было установлено, что функции 
имеют производных в точке 
Для графика функции 
это связано с тем, что он в точке 
не имеет касательной (рис. 134). График функции 
в начале координат имеет касательную (ось Оу), но она перпендикулярна оси абсцисс, и ее угловой коэффициент 
не имеет конечного значения.
