8. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптоты которой приняты за оси координат

Покажем, что графиком функции

является равносторонняя гипербола с асимптотами, совпадающими с координатными осями.

Для этого, повернув оси координат на угол (рис. 53), получим новую систему координат , причем (см. гл. I, § 6, п. 2, пример).

Подставляя эти выражения для х и у в уравнение (50), получим

или, после упрощений,

Это уравнение равносторонней гиперболы. Ее действительная ось при совпадает с осью ОХ, а при осью OY (на рис. 53) предполагается

Рис. 53

При этом старые оси служат биссектрисами координатных углов новой системы ОХY и, следовательно, являются асимптотами равносторонней гиперболы. Действительная полуось гиперболы . Таким образом, графиком функции является равносторонняя гипербола, для которой асимптотами служат оси координат