2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
В этом пункте мы выведем уравнение прямой линии в декартовой системе координат. Это значит (см. гл. I, § 5, п. 2), что мы найдем такое уравнение, связывающее
которому будут удовлетворять координаты любой точки данной прямой и не будут удовлетворять координаты точек, лежащих вне этой прямой.
Пусть прямая не параллельна ни одной из координатных осей.
Положение такой прямой вполне определяется ординатой b точки В (0; b) ее пересечения с осью ординат и углом а между осью
и прямой, т. е. наименьшим углом, на который нужно повернуть против часовой стрелки ось
до ее совпадения с прямой (рис. 37).
Рис. 37
Рис. 38
Пусть
- произвольно выбранная точка нашей прямой, не совпадающая с точкой
. Проведем через точку В ось
параллельную оси
и одинаково с ней направленную. Угол между осью
и данной прямой, очевидно, также равен а. В системе Вхгу точка М имеет координаты и
причем
Из определения тангенса угла следует
или
Заменяя в этом уравнении
их выражениями через х, у и b, получим
или
(1)
Введем обозначение
Тогда уравнение (1) примет следующий вид:
Это уравнение является уравнением данной прямой. В самом деле, из предыдущих рассуждений следует, что ему удовлетворяют координаты любой точки
прямой, не совпадающей с точкой В (0; b). Легко проверить непосредственно, что координаты точки В (0; b) ему также удовлетворяют. С другой стороны, можно убедиться, что координаты любой точки
, лежащей вне данной прямой, уравнению (2) не удовлетворяют.
Число
называется угловым коэффициентом прямой, ордината
- отрезком, отсекаемым прямой на оси
а уравнение (2) - уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Пусть теперь прямая параллельна оси
или, может быть, совпадает с ней (рис. 38). В этом случае
.
Для определенности предположим, что прямая пересекает ось ординат в точке
. Тогда любая точка М этой прямой имеет ординату, равную ординате точки В:
Очевидно, координаты точки, не лежащей на данной прямой уравнению (3) не удовлетворяют. Поэтому уравнение (3) является уравнением данной прямой, т. е. прямой, параллельной оси
прямая совпадает с осью абсцисс). Легко видеть, что уравнение (3) является частным случаем уравнения (2) при
Второй частный случай уравнения (2) получим, если отрезок b, отсекаемый прямой по оси ординат, равен нулю:
Прямая в этом случае проходит через начало координат.
Отрезок b, отсекаемый прямой на оси ординат, и угловой коэффициент прямой
вполне определяют положение этой прямой, так как любому значению
соответствует вполне определенное значение угла а (см. п. 1).
Пример 1. Найти уравнение биссектрисы I и III координатных углов.
Рис. 39
Решение. Биссектриса I и III координатных углов есть прямая, проходящая через начало координат. Ее уравнение мы ищем в форме (4):
. При этом ее угловой коэффициент
Поэтому искомое уравнение имеет следующий вид:
Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
и образующей с осью абсцисс угол
Решение. Найдем угловой коэффициент искомой прямой:
По условию, отрезок
На основании формулы (2) уравнение прямой с угловым коэффициентом будет иметь вид
или