5. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2l

Часто приходится разлагать в тригонометрический ряд функции периода, отличного от

Этот случай легко сводится к изученному ранее. Пусть функция удовлетворяющая условиям Дирихле, имеет период 21:

Введем новую независимую переменную z с помощью соотношения

Рассмотрим функцию

Так как из (134) следует, что , то

Покажем, что есть функция с периодом Действительно, на основании равенства (135)

Так как функция имеет период 21, то

Следовательно,

Составим для функции ряд Фурье

где коэффициенты находятся по формулам Эйлера — Фурье.

Имеем

Делаем подстановку: . Тогда и, изменяя соответственно границы интегрирования, получим

Аналогично находим

Рис. 266

Таким образом, в случае функции имеющей период коэффициенты Эйлера — Фурье вычисляются по формулам:

(138)

Заменяя в ряде (137) на получим ряд для функции f(x):

(139)

Пример I. Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на интервале формулой . График функции изображен на рис. 266.

Решение. Коэффициенты Фурье находим по формулам (138), в которых полагаем

Итак,

В частности, .

Ряд Фурье для функции будет иметь вид

Формулы (130) и (132) для коэффициентов Фуръе четных и нечетных функций, в случае функций, имеющих период преобразуются следующим образом.

Для четной функции:

Для нечетной функции:

Ряды Фурье (131) и (133) в этом случае примут вид: для четной функции:

для нечетной функции:

В заключение этого пункта рассмотрим вопрос о разложении в ряд Фурье произвольной непериодической функции. Пусть непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Так как сумма тригонометрического ряда является периодической функцией, то очевидно, что данная непериодическая функция не может быть разложена в ряд Фурье.

Рис. 267

Рассмотрим теперь эту функцию на интервале и попытаемся построить ряд Фурье, который имел бы ее своей суммой на этом интервале.

Для этого рассмотрим вспомогательную функцию f(х) периода значения которой на интервале совпадают со значениями функции (рис. 267). Если для функции выполняются условия теоремы Дирихле, то ее можно представить соответствующим рядом Фурье. Этот ряд на интервале во всех точках непрерывности функции будет иметь своей суммой

Иногда приходится иметь дело с функциями, заданными только в интервале . В этом случае мы можем сначала продолжить по какому-либо закону функцию на интервал а затем продолжить ее на всю числовую прямую периодически с периодом 2l.

Продолжить функцию из интервала на интервал можно произвольным образом.

Чаще всего встречается продолжение функции четным или нечетным образом. Если функция продолжается четным образом, т. е. значения функции в интервале принимаются равными ее значениям в интервале то ряд Фурье будет содержать только косинусы и свободный член.

Рис. 268

Если же функция продолжается нечетным образом, т. е. ее значения в интервале принимаются равными то ряд Фурье будет содержать только синусы.

Рис. 269

Таким образом, если функция задана в интервале , то продолжая ее на интервал а затем продолжая полученную функцию периодически на всю числовую прямую, мы можем получить бесчисленное множество рядов Фурье.

Однако все эти ряды на интервале будут представлять одну и ту же заданную функцию а на интервале каждый ряд будет иметь своей суммой соответствующее продолжение функции (рис. 268).

Пример 2. Разложить функцию заданную в интервале 0 < х <= 1, в ряд по синусам.

Решение. Для разложения функции в ряд по синусам надо ее продолжить на интервал нечетным образом (рис. 269) а затем продолжить полученную функцию периодически на всю числовую ось.

Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:

Здесь надо принять Тогда

Итак,

Ряд Фурье для данной функции имеет вид