5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями

Определение. Функция называется бесконечно большой при если для любого положительного числа А можно подобрать такое число N, что для всех значений выполняется неравенство

Так, например, функция является бесконечно большой при . Какое бы положительное число А мы ни взяли, эта функция может быть сделана больше, чем А (для всех значений превосходящих число

Аналогично, функция является бесконечно большой функцией при так как неравенство выполняется для всех превосходящих Ясно, что всякая бесконечно большая функция при не является ограниченной, а поэтому она не имеет предела (см. теорему 2).

О бесконечно большой функции (при ) говорят, что она стремится к бесконечности, или что она имеет бесконечный предел. Если функция бесконечно большая при , то это символически записывают так: . Это равенство не следует понимать в том смысле, что функция имеет предел; оно означает только, что функция (не имея предела) является бесконечно большой.

Если бесконечно большая функция положительна (для всех достаточно больших значений , то говорят, что она стремится к и записывают это так: . Если же бесконечно большая функция отрицательна (для всех достаточно больших , то говорят, что она стремится к и записывают:

Так, например, Можно доказать, что любой многочлен есть бесконечно большая функция как при так и при бесконечно большими и бесконечно малыми функциями существует тесная связь, которая устанавливается в теоремах 1 и 2. Теорема 1. Если функция является бесконечно большой при то функция является бесконечно малой при

Доказательство. Возьмем произвольное Покажем, что для достаточно больших будет выполняться неравенство а это и будет означать, что — бесконечно малая функция. Так как по условию — бесконечно большая функция, то существует такое число что при Но тогда для тех же Тем самым теорема доказана.

Пример 1. Функция бесконечно большая при

Следовательно, функция является бесконечно малой при

Теорема 2. Если функция не обращающаяся в нуль, бесконечно малая при то - бесконечно большая функция при

Рекомендуем доказать эту теорему читателю.

Аналогично определяются бесконечно большие функции при

Так, например, функция называется бесконечно большой при слева), если, каково бы ни было число найдется такое N, меньшее что для всех лежащих между N и выполняется неравенство

Все сказанное в этом пункте о функциях, бесконечно больших при справедливо и для бесконечно больших функций при

Пример 2. Функция на основании теоремы 2 есть бесконечно большая функция при так как функция бесконечно малая при (см. пример 2, п. 4). При этом так как функция для отрицательна, а для положительна.