4. Координаты точки в пространстве

Покажем, что положение точки в пространстве можно определить тремя числами.

Рассмотрим три взаимно перпендикулярные оси в пространстве имеющие общее начало О (точку пересечения осей) и общую масштабную единицу (рис. 9). Назовем эти оси координатными осями, а их общее начало — началом координат. Пространство, в котором заданы оси обозначим символом . Пусть М — произвольно выбранная точка пространства . Проведем через нее три плоскости, перпендикулярные координатным осям. Точки пересечения этих плоскостей с осями называются проекциями точки М на соответствующие оси. Пусть точка на оси имеет координату точка на оси — координату у и точка на оси Oz — координату . Числа называются прямоугольными (а также декартовыми) координатами точки М в пространстве.

При этом х называется абсциссой, у — ординатой, a z - аппликатой точки М. Такие же названия носят и координатные оси: ось называется осью абсцисс, ось — осью ординату ось — осью аппликат.

Очевидно, каждая точка М пространства определяет единственную упорядоченную тройку чисел х, у и z - ее координаты. Обратно, положение точки М в пространстве вполне определяется тремя ее декартовыми координатами. Поэтому в дальнейшем, если будет сказано «дана точка» или «требуется найти точку», то это будет соответственно означать, что даны или требуется найти координаты этой точки.

Рис. 9

Рис. 10

Если через каждую пару координатных осей провести плоскость, то получатся три взаимно перпендикулярные плоскости называемые координатными плоскостями. Они делят пространство на восемь частей — октантов (рис. 10): в I октанте во И октанте в III октанте в IV октанте в V октанте в VI октанте в VII октанте в VIII октанте . В дальнейшем запись будет означать, что точка М имеет абсциссу ординату у и аппликату .