ГЛАВА XII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, и некоторые общие понятия

При решении многих задач математики, физики и техники часто не удается установить непосредственную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается составить уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такое уравнение называется дифференциальным. Решая его, находят зависимость уже между самими переменными. Дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде независимую переменную и искомую функцию, но обязательно должно содержать одну или несколько производных искомой функции.

Например, уравнения

будут дифференциальными уравнениями.

С простейшим дифференциальным уравнением мы уже встречались при решении задачи об отыскании первообразной функции. Действительно, если функция y = F(x) есть первообразная для функции , то по определению первообразной

Уравнение (1), содержащее производную искомой функции, является простейшим дифференциальным уравнением.

Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям.

Задача 1. Тело охладилось за 10 мин от 100 до 60°. Температура окружающего воздуха поддерживается постоянной и равной 10°. Определить, через сколько минут температура тела станет равной 20е.

На первый взгляд может показаться, что эта задача решается элементарно: если тело за 10 мин охладилось на 40° (от 100 до 60°), то еще на 40° (от 60 до 20°) оно охладится также за 10 мин. Таким образом, от 100 до 20° тело охладится через 20 мин.

Однако такое рассуждение ошибочно. Дело в том, что, как известно из физики, скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой, до которой нагрето тело, и температурой окружающей среды.

Обозначим температуру тела в некоторый момент времени t через тогда скорость изменения температуры по времени равна производной

Так как скорость охлаждения пропорциональна разности между температурой нагрева тела и температурой окружающей среды, то получаем уравнение

Здесь - множитель пропорциональности, подлежащей определению. Уравнение (2) является дифференциальным уравнением. Искомая функция должна удовлетворять следующим требованиям, указанным в условии задачи: в начальный момент времени температура тела . При мин температура . Решение уравнения (2) будет дано в п. 3.

Задача 2. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и прямой, параллельной оси и проходящей через точку касания, есть величина постоянная, равная

Рис. 270

Рис. 271

Пусть - произвольная точка искомой кривой, уравнение которой Площадь трапеции, указанной в условии задачи, (рис. 270). Для того чтобы составить дифференциальное уравнение данной задачи, выразим отрезки ОА, ВМ и ОВ через координаты текущей точки и через производную у.

Из рисунка замечаем, что ВМ

Подставляя эти выражения в формулу для площади трапеции, найдем

или

Уравнение (3) является дифференциальным уравнением. Его решение будет приведено в п. 5.

Задача 3. Материальная точка массы m падает под действием силы земного притяжения.

Требуется определить путь, пройденный точкой за время t, если в начальный момент точка имела скорость

Примем вертикальную прямую, по которой движется точка, за ось За начало координат возьмем точку оси, соответствующую положению точки в начальный момент (при . За положительное направление оси примем направление к земле (рис. 271). Пройденный точкой путь у будет некоторой функцией времени t. Нужно определить вид функциональной зависимости Из механики известно, что при свободном падении ускорение падающего тела постоянно и равно . С другой стороны известно, что ускорение равно второй производной от пути по времени, т. е. . Приравнивая эти два выражения, получаем

Мы снова получили дифференциальное уравнение. В отличие от дифференциальных уравнений (2) и (3) оно содержит вторую производную. Нам надо найти решение этого уравнения, удовлетворяющее следующим ограничениям, указанным в условии задачи. В начальный момент пройденный путь и начальная скорость равна Так как скорость есть первая производная от пути по времени, то это условие записывается следующим образом: в начальный момент

Решение задачи будет приведено в § 2, п. 2.

Как показывают приведенные примеры, дифференциальное уравнение может содержать первую производную, вторую производную или производные более высоких порядков. Введем следующее определение.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется высший из порядков, входящих в это уравнение производных искомой функции.

Так, например, уравнения — первого порядка; уравнения — второго порядка; уравнение — четвертого порядка и т. д.

В рассмотренных выше задачах уравнения (2) и (3) были уравнениями первого порядка, а уравнение (-уравнением второго порядка.

Перейдем теперь к изучению дифференциальных уравнений первого порядка.