5. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
Рассмотрим две плоскости 
заданные соответственно уравнениями:
и
Под углом между двумя плоскостями мы понимаем один из двугранных углов, образованных этими плоскостями (рис. 85). Угол 
между нормальными векторами и 
плоскостей 
очевидно равен одному из указанных смежных двугранных углов (рис. 85). Поэтому
(см. гл. III, формула (71)).
Но так как
то
Пример 1. Определить угол между плоскостями 
Решение. Применяя формулу (7), получим
Из таблицы находим, что 
Итак, один из смежных двугранных углов приближенно равен 
Рассмотрим теперь условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
Условие параллельности двух плоскостей.
Две плоскости 
тогда и только тогда параллельны друг другу, когда их нормальные векторы 
параллельны между собой. Поэтому из условия параллельности двух векторов (см. гл. III, формула (64)) получим
Это и есть условие параллельности двух плоскостей. Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих текущих координатах пропорциональны.
Условие перпендикулярности.
Две плоскости перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда их нормальные векторы 
взаимно перпендикулярны. Поэтому, воспользовавшись условием перпендикулярности двух векторов (см. гл. III, формула (69)), получим
Равенство (9) дает условие перпендикулярности двух плоскостей. Итак, две плоскости перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда сумма парных произведений одноименных коэффициентов при текущих координатах равна нулю.
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно плоскости 
Решение. Напишем уравнение связки плоскостей, проходящих через точку 
(см. формулу 
):
Из плоскостей связки нам нужно выделить ту, которая параллельна на плоскости 
Для этого воспользуемся условием (8) параллельности плоскостей: 
Итак, искомые коэффициенты А, В и С должны быть пропорциональны числам 
Поэтому можно положить 
. Подставляя найденные значения коэффициентов А, В и С в уравнение
получим
или, после упрощений,
Это и есть уравнение искомой плоскости.
Пример 3. Через точку 
провести плоскость перпендикулярно плоскостям 
Решение. Запишем уравнение связки плоскостей, проходящих через точку 
Неизвестные коэффициенты А, В и С найдем из условия (9) перпендикулярности плоскостей:
искомая плоскость должна быть перпендикулярна плоскости 
значит 
искомая плоскость должна быть перпендикулярна плоскости 
значит 
Итак, для нахождения неизвестных коэффициентов А, В и С получаем однородную систему из двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
Решая эту систему, найдем
В частности, при 
найдем: 
Подставляя найденные значения А, В и С в уравнение плоскости, проходящей через точку 
получим
