6. Знакопеременные ряды

До сих пор мы изучали только ряды, все члены которых были положительными . Теперь мы перейдем к рассмотрению рядов, содержащих как положительные, так и отрицательные члены. Такие ряды называются знакопеременными.

В качестве примера знакопеременного ряда приведем ряд

Изучение знакопеременных рядов мы начнем с частного случая, так называемых знакочередующихся рядов, т. е. рядов, в которых за каждым положительным членом следует отрицательный и за каждым отрицательным членом следует положительный.

Обозначая через — абсолютные величины членов ряда и считая, что первый член положителен, знакочередующийся ряд запишем следующим образом:

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.

Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (34) абсолютные величины членов убывают:

и общий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена ряда.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда

Сгруппируем члены попарно:

Так как по условию абсолютные величины членов ряда убывают, то все разности в скобках положительны и, следовательно, сумма положительна и возрастает при увеличении .

Запишем теперь группируя члены иным образом:

Сумма в квадратных скобках будет также положительной. Поэтому для любого значения . Таким образом, последовательность четных частичных сумм возрастает с увеличением , оставаясь при этом ограниченной. Следовательно, имеет предел

При этом, так как то ясно, что Рассмотрим теперь сумму нечетного числа членов:

При имеем

так как по условию и, следовательно, .

Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов имеют общий предел S. Это означает, что вообще , т. е. ряд сходится. При этом, как видно из доказательства, сумма ряда S не превосходит первого члена ряда.

Пример 1. Исследовать, сходится или расходится ряд

Решение. Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница:

Следовательно, ряд сходится.

Перейдем теперь к рассмотрению общего случая знакопеременного ряда. Будем предполагать, что в ряде

числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Для таких рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Теорема. Если для знакопеременного ряда

сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

то данный знакопеременный ряд также сходится.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов (37) и (38):

Имеем:

Таким образом, члены ряда (39) либо равны членам сходящегося ряда (38), либо меньше их. Поэтому ряд (39) сходится на основании признака сравнения (см. п. 5, теорему 1 и сноску на стр. 501).

Умножив все члены сходящегося ряда (38) на получим сходящийся ряд

(см. п. 3, теорема 1). Рассмотрим теперь ряд, являющийся разностью сходящихся рядов (39) и (40)

Этот ряд сходится на основании теоремы 2 п. 3.

Но ряд (37) получается из последнего ряда умножением всех его членов на 2:

Следовательно, ряд (37) также сходится (п. 3, теорема 1).

Пример 2. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд (33)

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

Этот ряд сходится, как обобщенный гармонический ряд с показателем . Следовательно, на основании доказанного признака сходится и данный ряд (33).

Этот признак является достаточным, но не необходимым. Это значит, что существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, в то время как ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Действительно рассмотрим ряд

который, очевидно, сходится по признаку Лейбница. Между тем, ряд

составленный из абсолютных величин членов данного ряда является гармоническим и, следовательно, расходится.

Хотя рассмотренные выше ряды (33) и (42) оба сходятся, однако характер их сходимости различен.

Ряд (33) сходится одновременно с рядом (41), составленным из абсолютных величин его членов, тогда как ряд (43), составленный из абсолютных величин сходящегося ряда (42), расходится.

В связи с этим введем следующие определения.

Определение. Знакопеременный ряд абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

На основании достаточного признака сходимости знакопеременного ряда всякий абсолютно сходящийся ряд будет сходящимся.

Определение. Знакопеременный ряд называется неабсолютно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов их расходится.

Возвращаясь к рассмотренным выше примерам, можем сказать, что ряд (33) является абсолютно сходящимся, а ряд ( - неабсолютно сходящимся.

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место. Это объясняется тем, что на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм. Особое значение имеет свойство переместительности, которым обладают только абсолютно сходящиеся ряды.

Это свойство, которое мы приводим без доказательства, формулируется следующим образом.

Сумма абсолютно сходящегося ряда не меняется от любой перестановки его членов.

Наоборот, в неабсолютно сходящемся ряде нельзя переставлять члены, так как в случае их перестановки может измениться сумма ряда и даже получиться расходящийся ряд.

Говоря о перестановке членов, мы подразумеваем, что меняем местами бесконечное множество членов, так как, переставляя два, три, четыре или любое конечное число членов, мы, очевидно, не изменим суммы ряда.

Рассмотрим в качестве примера неабсолютно сходящийся ряд (42)

сумму которого обозначим через

Переставим члены этого ряда, поместив после каждого положительного члена два отрицательных. Получим ряд

Обозначим частичные суммы ряда (42) через и ряда (42) через Тогда

Итак, и вообще, как можно показать, Так как то .

Итак, последовательность частичных сумм ряда (42) с номерами, кратными трем, имеет своим пределом у S. Можно показать, что этот же предел имеют последовательности всех частичных сумм .

Таким образом, существует и, значит, ряд (42) сходится. При этом его сумма составляет половину суммы ряда (42), из которого он получен перестановкой членов.