3. Понятие области

Введем некоторые определения, которые понадобятся в дальнейшем.

Определение. Областью (открытой областью) называется множество точек плоскости, обладающее следующими двумя свойствами:

1) каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки (свойство открытости);

2) всякие две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области (свойство связности).

Часть плоскости, лежащая внутри замкнутого контура L (рис. 216), является областью, так как; 1) для любой точки Р, лежащей внутри L, существует окрестность, также лежащая внутри L; 2) две любые точки Р и Q, лежащие внутри L, можно соединить непрерывной кривой, лежащей внутри

Области определения функций в примерах 1 и 3 п. 1 являются открытыми областями. Вся плоскость, очевидно, также является открытой областью.

Точка называется граничной точкой области G, если любая окрестность этой точки содержит как точки области G, так и точки, ей не принадлежащие.

Множество всех граничных точек области называется ее границей.

На рис. 216 любая точка контура, очевидно, является граничной.

Границу области на рис. 211 составляют неотрицательные части осей

Рис. 216

Если к открытой области присоединить ее границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью.

Области определения функций в примерах 2 и 4 (см. рис. 212 и 213) являются замкнутыми.

Если для данной области можно подобрать круг, полностью ее покрывающий, т. е. такой, внутри которого лежат все точки области, то такая область называется ограниченной.

Если же круга, полностью покрывающего область, подобрать нельзя, то область называется неограниченной. Ограниченными областями являются области определения функций, рассмотренные в примерах 2, 3 и 4 § 1 п. 1 (см. рис. 212, 213). Напротив, область определения функции в примере - неограниченная область. Область G (открытая или замкнутая) называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области G. Области, изображенные на рис. 211, 212, являются, очевидно, односвязными. Напротив, область, заключенная между окружностями (см. рис. 213), не является односвязной, так как, например, окружность лежащая в этой области, содержит внутри себя точки, не принадлежащие области (например, начало координат).

Замечание. Все введенные в этом пункте понятия почти без изменений переносятся на пространство трех и большего числа измерений.