6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть в пространстве даны две прямые:

и

Как известно, за угол между двумя прямыми принимают один из двух смежных углов, которые образуют прямые, проведенные параллельно данным через какую-нибудь точку пространства.

Один из этих смежных углов равен углу между направляющими векторами данных прямых. Так как то по известной формуле для косинуса угла между векторами получим

или

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и .

Условие параллельности. Две прямые параллельны друг другу тогда и только тогда, когда их соответствующие направляющие коэффициенты пропорциональны, т. е.

Условие перпендикулярности. Две прямые перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда сумма парных произведений одноименных направляющих коэффициентов равна нулю, т. е.

Пример 1. Найти угол между прямыми

Решение. Применяя формулу (22), получим

из таблицы находим

Пример 2. Найти уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой

Решение. Запишем уравнения искомой прямой в каноническом виде

Направляющий вектор искомой прямой s получим как векторное произведение нормальных векторов (см. п. 4):

Следовательно . Подставляя эти значения направляющих коэффициентов в уравнения получим

Пример 3. Найти уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямым

Решение. Запишем уравнения прямой, проходящей через данную точку:

Пользуясь условием перпендикулярности прямых, получим

Решая эту систему, найдем:

Полагая получим .

Подставляя найденные значения в канонические уравнения, получим

Пример 3 можно решить иначе, учитывая, что за направляющий вектор искомой прямой можно принять любой вектор, перпендикулярный направляющим векторам данных прямых. В частности, вектор s можно положить равным векторному произведению векторов и

Отсюда .