3. Обратная матрица
Рассмотрим теперь так называемую обратную матрицу, понятие которой вводится только для квадратной матрицы.
Если А—квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая 
и удовлетворяющая условию
Можно доказать, что если выполняется равенство (90), то одновременно выполняется и равенство
Приведем теперь следующую основную теорему.
Теорема. Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т. е. чтобы ее определитель был отличен от нуля.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что для матрицы A существует обратная матрица 
. Покажем, что в этом случае матрица А должна быть невырожденной, т. е. ее определитель 
. Действительно, если бы 
, то определитель произведения
Но это невозможно в силу равенства (91), из которого следует, что
Достаточность. Для простоты проведем доказательство для случая матрицы третьего порядка.
Пусть
невырожденная матрица, т. е. ее определитель
Покажем, что в этом случае существует обратная матрица.
В самом деле, пусть 
-алгебраическое дополнение элемента 
Матрица 
обратная матрице A, получается следующим образом.
1) Составим матрицу В, заменяя в матрице А каждый ее элемент 
его алгебраическим дополнением 
деленным на определитель 
матрицы А:
2) Составим новую матрицу В, поменяв местами в матрице В ее строки и столбцы. (Матрица В называется транспонированной матрицей по отношению к матрице В.)
Покажем, что матрица В является обратной матрице A. Для этого составим произведение
На основании формул (15) и (17) следует, что матрица, стоящая в правой части равенства (92), является единичной. Таким образом,
откуда следует, что 
. Итак,
и, следовательно, обратная матрица существует.
Составим матрицу, обратную матрице второго порядка
Здесь 
.
В таком случае
и
Пример. Найти матрицу, обратную матрице
Решение. Определитель этой матрицы
Так как 
то матрица А — невырожденная, и, следовательно, существует обратная ей матрица.
Вычисляем алгебраические дополнения:
Составляем матрицу
Меняя местами строки и столбцы в этой матрице, получим матрицу
Предоставляем читателю проверить, что действительно
Докажем, что определители матрицы Л и ее обратной матрицы 
обратны по величине:
Действительно, из формулы (90) имеем
Применяя формулы (88) и (89), получим:
откуда
