8. Скалярное произведение

В п. 2 этого параграфа было рассмотрено умножение вектора на число. В различных задачах механики и физики мы встречаемся также с операцией умножения вектора на вектор. Однако в отличие от чисел, когда результат произведения всегда есть снова число, при умножении векторов результат может быть как числом, так и вектором.

Соответственно этому рассматривают два вида умножения векторов: скалярное и векторное.

Изучим сначала скалярное умножение.

Пусть даны два вектора а и b, угол между которыми равен (рис. 71).

Определение. Скалярным произведением векторов а и b называется число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение обозначается Таким образом, по определению

Рассмотрим одну физическую задачу, решение которой приводит к скалярному произведению векторов. Пусть материальная точка М движется по прямой от точки А до точки В, проходя при этом путь Допустим, что на точку М действует сила F, постоянная по величине и направлению и составляющая с направлением перемещения точки М угол а (рис. 72).

Из физики известно, что работа Е, совершаемая при этом силой F на участке , равна

Если ввести вектор перемещения 1, то по определению скалярного произведения получим

Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Рис. 71

Рис. 72

Рис. 73

Формуле (65), определяющей скалярное произведение, можно придать иной вид.

Так как произведение есть проекция вектора b на ось, определяемую вектором а (обозначается ), — проекция вектора а на ось вектора b (рис. 73), то из равенства

следует, что

(66)

Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию на него другого вектора.

Из (66) находим выражение для проекции одного вектора на направление другого:

В частном случае, если, например, вектор а единичный, т. е. , то

Проекция вектора на направление единичного вектора равна скалярному произведению этих векторов.

Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение двух векторов обладает переместительным свойством:

Это свойство непосредственно следует из определения скалярного произведения:

следовательно,

2. Скалярное произведение двух векторов обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е.

При доказательстве этого равенства ограничимся случаем . Замечая, что при угол между векторами а и b равен углу между векторами а и b, получим

Следовательно, Аналогично доказывается и равенство .

3. Скалярное произведение двух векторов обладает распределительным свойством:

Действительно, на основании формулы (66) и свойства проекций имеем

4. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то равен нулю либо один из перемножаемых векторов, либо косинус угла между ними, т. е. векторы перпендикулярны.

Обратно, если векторы , то и, следовательно, скалярное произведение векторов равно нулю.

Таким образом, для того чтобы два не равных нулю вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Рассмотрим теперь скалярное произведение вектора самого на себя. Такое произведение называется скалярным квадратом вектора.

Скалярный квадрат вектора обозначается Таким образом,

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Отметим любопытное свойство скалярного квадрата вектора, вытекающее из формулы (68). Если вектор а возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим, как это видно из (68), не первоначальный вектор, а его модуль . Таким образом, действия возведения в квадрат и последующее извлечение корня не аннулируют друг друга:

Пример. Дан вектор , причем . Угол между векторами а и b равен 60°. Вычислить модуль вектора с.

Решение. Используя формулу (68), получим , откуда

Так как

то