12. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов
Пусть даны два вектора:
Найдем выражение векторного произведения 
через проекции 
Предварительно найдем все парные векторные произведения единичных векторов i, j, k. Так как векторное произведение коллинеарных векторов равно нуль-вектору, то
Рис. 77
Рассмотрим теперь, например, произведение 
Модуль этого произведения
Расположен вектор 
на прямой, перпендикулярной плоскости векторов i и j, т. е. на оси 
Направлен этот вектор в сторону положительного направления оси 
, так как при этом поворот вектора i к вектору j по кратчайшему пути будет виден из конца вектора 
совершающимся против вращения часовой стрелки (рис. 77). Отсюда следует, что этот вектор совпадает с вектором к:
Очевидно, что
С помощью аналогичных рассуждений убедимся, что
Рассмотрим теперь произведение векторов а и b.
Используя свойства 3 и 4 векторного произведения и равенства (76), (77) и (77), получим
Разности, стоящие в скобках, представляют собой определители второго порядка (§ 1, п. 1). Поэтому
Полученное выражение на основании свойства о разложении определителя третьего порядка по элементам первой строки можно окончательно записать следующим образом:
Пример 1. Найти векторное произведение векторов
Решение. По формуле (78) находим
Пример 2. Вычислить площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А (2; 3; 1), В (5; 6; 3), С (7; 1; 10).
Решение. Рассмотрим векторы АВ и АС, совпадающие со сторонами треугольника
Так как модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах, то площадь треугольника будет равна половине модуля векторного произведения
Находим сначала
Следовательно,
