§ 6. РЯДЫ ФУРЬЕ

1. Периодические процессы и периодические функции

Весьма многие процессы, происходящие в природе и технике, обладают свойством повторяться через определенные промежутки времени. Такие процессы называются периодическими. Примерами периодических процессов могут служить движения шатуна и поршня в двигателях, явления, связанные с распространением электромагнитных колебаний, и многие другие. Изучение периодических процессов математически описывается периодическими функциями. Определение периодической функции дано в гл. I, § 4, п. 8.

Простейшими периодическими функциями являются известные нам тригонометрические функции . Период этих функций равен

Функции также являются периодическими, но период их Действительно,

Сумма двух периодических функций, как, например, функция вида вообще говоря, уже не будет периодической. Но можно доказать, что если отношение есть число рациональное, эта сумма будет периодической функцией.

Простейший периодический процесс — гармоническое колебание — описывается периодическими функциями Более сложные периодические процессы, как мы увидим, описываются функциями, составленными либо из конечного, либо из бесконечного числа слагаемых вида

Приведем несколько формул, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Каковы бы ни были целые числа , имеют место следующие равенства:

(120)

Проверим, например, равенство (117). Воспользуемся известной формулой

Пусть сначала . Тогда

так как .

Если , то и

Аналогично проверяются и равенства (118), (119) и (120).