§ 2. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

1. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Метод координат

Как было показано, положение точки на прямой определяется одним числом — координатой этой точки. Положение точки на плоскости определяется уже двумя числами.

Рис. 4

Рис. 5

Действительно, пусть на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные числовые оси имеющие общее начало О (совпадающее с точкой пересечения осей) и общую единицу масштаба (рис. 4).

Плоскость, в которой расположены оси назовем координатной плоскостью и обозначим Рассмотрим произвольно выбранную точку М координатной плоскости и пусть и - проекции точки М соответственно на оси

Координата х точки на оси Ох называется абсциссой точки М, а координата у точки на оси — ординатой точки М. Рассматриваемые совместно числа х и у называются прямоугольными (или декартовыми прямоугольными) координатами точки

Очевидно, каждой точке М на координатной плоскости соответствует единственная упорядоченная пара чисел прямоугольные координаты. Обратно, каждая пара чисел х и у определяет единственную точку М на плоскости Действительно, числам х и у соответствуют вполне определенные точки на осях Ох и Оу. Перпендикуляры к осям, восставленные в этих точках, пересекутся в единственной точке М с координатами х и у.

В дальнейшем, если будет сказано «дана точка» или «найти точку» на плоскости, то это будет соответственно означать, что заданы или требуется найти координаты этой точки.

Рис. 6

Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу — осью ординат, а обе оси вместе — осями координат. Общее начало осей абсцисс и ординат называется началом координат.

Оси делят координатную плоскость на четыре части, называемые четвертями (рис. 5). В I четверти во II четверти в III четверти в IV четверти

Условимся в дальнейшем писать в том случае, когда является абсциссой, а у — ординатой точки М. Например, запись означает, что точка М имеет абсциссу 1 и ординату

Пример. Построить на плоскости точку М (5, 5; —2).

Решение. Строим на оси абсцисс точку по ее координате 5,5, а на оси ординат точку имеющую координату Проводим через точку прямую, перпендикулярную оси а через точку -прямую, перпендикулярную оси Точка М пересечения этих прямых и есть искомая (рис. 6).

Итак, положение точки на плоскости определяется упорядоченной парой чисел координатами этой точки. Ниже мы увидим, что положение точки в пространстве определяется тремя числами. Способ определения положения точек с помощью чисел называется методом координат. Создателем координатного метода был французский математик Декарт, который прилагал этот метод ко многим геометрическим задачам и создал новую математическую дисциплину — аналитическую геометрию, занимающуюся изучением свойств геометрических фигур и их взаимного расположения методами алгебры. Простейшие задачи аналитической геометрии рассмотрены в п. 2, 3, 4 и 5.

Основные разделы аналитической геометрий изложены в гл. II и IV. В дальнейшем метод координат получил широкое развитие и нашел применение во многих областях математики и механики.

В следующих пунктах мы рассмотрим применение метода координат к решению некоторых геометрических задач.