2. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

В этом пункте мы рассмотрим уравнения второго порядка, ко торые с помощью замены переменной сводятся к уравнениям первого порядка. Такое преобразование уравнения называется понижением порядка. Простейшими уравнениями второго порядка, допускающими понижение порядка, являются следующие:

Рассмотрим последовательно, как осуществляется понижение порядка и как интегрируется каждое из указанных уравнений.

I. Уравнение . Введем новую функцию и положив Тогда и мы получим уравнение первого порядка: Решая его, получим

где - одна из первообразных от . Так как , то Отсюда, интегрируя еще раз, находим общее решение уравнения (37)

Пример 1. Найти общее решение уравнения . Решение. Полагая получаем уравнение Интегрируя, находим Заменяя на у и интегрируя еще раз, находим общее решение уравнения:

II. Уравнение Это уравнение не содержит явно искомой функции у. Вводя, как и в предыдущем случае, новую функцию и замечая, что получаем уравнение первого порядка относительно функции и

Допустим, что найдено общее решение этого уравнения

Заменяя в этом решении функцию v на у, получаем

Отсюда общее решение уравнения (38) будет иметь вид

Пример 2. Найти общее решение уравнения

и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Положим . Тогда . Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим уравнение первого порядка

Разделяя в этом уравнении переменные, находим

Интегрируя, получаем

Потенцируя, находим

Так как , то . Интегрируя еще раз, получаем общее решение данного уравнения

Выделим из этого общего решения частное решение. Используя первое начальное условие у находим или Дифференцируем общее решение:

Используя второе начальное условие получим , откуда .

Таким образом, для определения постоянных и получаем систему уравнений

Отсюда . Следовательно, искомое частное решение данного уравнения имеет вид

III. Уравнение . Это уравнение не содержит явно независимой переменной . Для понижения порядка уравнения снова вводим новую функцию зависящую от переменной , полагая

Дифференцируем это равенство по помня, что у является функцией от х:

Так как

Подставляя выражения для и у в данное дифференциальное уравнение, получаем уравнение первого порядка относительно функции

Пусть функция является общим решением этого уравнения. Вспоминая, что получим уравнение с разделяющимися переменными

Интегрируя его, находим общий интеграл первоначального уравнения (39):

Пример 8. Найти общее решение уравнения . Решение. Вводим новую неизвестную функцию , полагая

тогда, согласно равенству . Подставляя выражения для в данное уравнение, получим

В этом уравнении первого порядка переменные разделяются:

Интегрируя, находим: . Отсюда .

Так как , то и, следовательно,

Интегрируя, получаем общий интеграл

Отсюда находим общее решение:

Рассмотрим теперь задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям второго порядка. Прежде всего вернемся к задаче о свободном падении материальной точки, рассмотренной в § 1, п. 1. Уравнение, к которому привела эта задача, имело вид (формула 4)

Это уравнение вида (37). Аргументом здесь является время. Вводя новую функцию , получаем уравнение . Интегрируя, находим

Так как в начальный момент скорость точки должна быть равной и так как скорость точки есть первая производная у от пути по времени, то для определения имеем уравнение . Отсюда и

Это известная из физики формула для скорости при свободном падении материальной точки. Заменяя здесь на и интегрируя еще раз, находим

Так как в начальный момент пройденный путь равен по условию нулю, то получаем

откуда . Итак, частное решение уравнения (4) имеет вид

Это формула пройденного пути при свободном падении тела.

Задача. В моторной лодке, движущейся прямолинейно со скоростью выключается мотор. При своем движении лодка испытывает сопротивление воды, сила которого пропорциональна квадрату скорости лодки, причем коэффициент пропорциональности , где — масса лодки. Через сколько времени скорость лодки уменьшится вдвое и какой путь пройдет за это время лодка?

Решение. При решении этой задачи воспользуемся вторым законом Ньютона.

Величина силы, действующей на материальную точку, равна произведению массы точки на величину ее ускорения, а направление силы совпадает с направлением ускорения.

Так как скорость есть первая производная от пути по времени , а ускорение — вторая производная от пути по времени , то принимая лодку за материальную точку, можем написать уравнение движения лодки в виде или

Знак «минус» здесь указывает на то, что сила сопротивления воды направлена противоположно движению лодки.

Так как скорость , то начальные условия будут следующими:

Так как то, подставляя выражения для в уравнение получаем уравнение первого порядка

или

Разделяем переменные и интегрируем:

Используя начальное условие найдем

Интегрируя последнее уравнение, находим

Принимая во внимание, что получим Следовательно, и

Итак, мы получили закон движения лодки. По условию задачи требуется узнать время, через которое скорость лодки уменьшится вдвое. Для этого подставляем в формулу для скорости значение Обозначая через Т время, спустя которое скорость лодки уменьшится вдвое, получим . Отсюда время сек.

Для вычисления пути, пройденного лодкой за это время, в выражение для s подставляем значение сек: