5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

1. В приближенных вычислениях встречаются понятия абсолютной и относительной погрешностей.

Определение. Абсолютной погрешностью приближенной величины называется абсолютная величина разности между точным значением и этой величины и ее приближенным значением . Обозначая абсолютную погрешность символом , получим

Чаще всего точное значение а следовательно, и абсолютная погрешность неизвестны. Поэтому вводят понятие границы абсолютной погрешности.

Определение. Границей абсолютной погрешности приближенной величины называется любое положительное число не меньшее абсолютной погрешности Да:

Из неравенства (67) следует, что точное значение величины и содержится между .

Если граница абсолютной погрешности при нахождении некоторой величины и равна , то говорят, что величина и найдена с точностью

Ясно, что чем меньше , тем точнее найдена величина и. Однако, зная границу погрешности, нельзя еще судить о качестве приближения.

Так» например, при измерении расстояния от Москвы до Ленинграда с точностью до 1 км мы имеем значительно большую абсолютную погрешность, чем при определении с точностью до 10 см роста человека. Однако ясно, что качество измерения в первом случае выше, чем во втором. Для того чтобы судить о качестве приближений, вводят понятие относительной погрешности.

Определение. Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения измеряемой величины.

Обозначая относительную погрешность символом , получим

Определение. Границей относительной погрешности называется отношение границы абсолютной погрешности к модулю приближенного значения измеряемой величины:

часто выражают в процентах.

Возвращаясь к рассмотренным примерам, найдем границы относительных погрешностей при измерениях расстояния L от Москвы до Ленинграда и длины человеческого роста, принимая приближенно . Так как или 0,15%. Во втором случае Следовательно, или 5,88%. Измерение в первом случае значительно точнее, чем во втором.

II. Перейдем теперь к применению дифференциала к приближенным вычислениям значений функций.

Пусть нам известно значение функции и ее производной в точке . Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке . Для этого воспользуемся приближенным равенством (59):

или

Так как , то

откуда

Полученная формула решает поставленную задачу.

Как можно показать, абсолютная погрешность, которая при этом получается, не превышает

где М — наибольшее значение на сегменте

Пример 1. Пользуясь формулой (68), найти приближенное значение .

Решение. Будем рассматривать как частное значение функции . Примем за начальное значение аргумента или в радианах котором легко вычисляется без таблиц). За новое (приращенное) значение аргумента примем или в радианах .

Тогда приращение аргумента

Формула (68) в данном случае примет следующий вид:

или

Подставляя сюда численные значения , получим

Для оценки погрешности найдем вторую производную . Так как для всех между , то абсолютная погрешность, как это следует из формулы (69), не превышает

Таким образом, погрешность не превышает 0,0003.

Пример 2. Подсчитать приближенно увеличение объема цилиндра с высотой и радиусом основания при увеличении радиуса основания на 0,5 см.

Решение. Объем цилиндра Y при постоянной высоте Н и переменном радиусе основания R является функцией R: При подсчете приращения объема заменяем это приращение дифференциалом

При имеем

Применяя формулу (69), читатель легко убедится, что в данном случае граница абсолютной погрешности