Задачи

1. Написать совместную плотность вероятности случайных величин если известна плотность вероятности в интервале .

Решение. Запишем через условную плотность вероятности у:

Так как у — детерминированная функция

условная плотность есть

Одномерное распределение х следует из заданного распределения 0:

Таким образом,

с верхним знаком при и с нижним — при Разумеется, можно написать аналогичное выражение и через

2. Какие распределения случайной величины х на интервале обеспечивают некоррелированность х и любой четной детерминированной функции

Решение. Достаточным условием некоррелированности является четность так как при этом обращаются в нуль моменты

3. Каким условиям должна удовлетворять плотность вероятности случайной фазы 0 в интервале колебаний чтобы они были некоррелированы?

Решение. Коэффициент корреляции пропорционален разности

Представим плотность вероятности в виде

Вычислив для такого распределения моменты, входящие в коэффициенты при в соотношении (1), и приравняв эти коэффициенты нулю,

находим следующие два условия:

Если ввести амплитуды и фазы первой и второй гармоник

то полученные условия означают, что

В частности, колебания будут некоррелированы при отсутствии в первой и второй гармоник а также, конечно, и при отсутствии всех гармоник, т. е. при равномерном распределении

4. Найти дисперсию суммы случайного числа независимых случайных величин обладающих одинаковыми дисперсиями

Решение. Совместную функцию распределения случайных величин можно записать через условную вероятность умноженную на вероятность значения и:

Следовательно,

5. Показать, что для нормальных величин х, всегда можно найти такие линейных комбинаций которые будут независимы в совокупности.

Решение. Справедливость данного утверждения следует из того, что всегда существует ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к сумме квадратов. Геометрически это поворот осей в -мерном пространстве при котором новые оси совпадают с главными осями эллипсоидов .

6. Показать что для нормальной величины х со средним значением и дисперсией для всякой детерминированной дифференцируемой функции возрастающей при медленнее, чем справедлива формула

Решение. Интегрирование по частям дает

Обобщение этой формулы на функционалы от случайных гауссовых полей используется в теории случайных полей.

Если , то формула (1) принимает вид

где

7. Пусть задана -мерная случайная величина т. е. известна ее -мерная плотность вероятности где — возможные значения Величина связана с функциональной зависимостью где F — детерминированная однозначная вектор-функция с однозначной обратной функцией Выразить плотность вероятности через

Решение. Однозначную связь можно рассматривать как преобразованиекоординат в -мерном пространстве возможных значений:

Как известно, элемент «объема» преобразуется по формуле где — якобиан преобразования:

В силу взаимной однозначности преобразования вероятность попадания в область та же, что и I в область т. е.

Подставив в правую часть находим