§ 6. Предельная теорема Муавра—Лапласа

Другой предельный случай биноминального закона при получается тогда, когда не стремится к нулю, а имеет определенное значение, отличное от нуля и единицы. Тем самым с ростом N растет также и Этот переход дается так называемой локальной предельной теоремой, доказанной Муавром (1730 г.) для альтернативы с а затем Лапласом — для альтернативы с любыми и q (конечно, Мы не будем рассматривать общий случай предельного перехода для , а ограничимся условиями теоремы Лапласа.

Формулируем первоначально какую-либо физическую задачу, для которой указанный предельный переход был бы естественным. Вполне подходящей для этого является уже рассмотренная модель брауновского движения. За N шагов частица

удаляется от начального положения на расстояние а с вероятностью . Если шаг занимает время , то расстояние проходится за время . Ввиду малости х реальным условиям наблюдения соответствуют промежутки времени t, охватывающие колоссальное количество N элементарных перемещений Однако вероятности и перемещений характеризуют рассматриваемую систему и не зависят от наблюдаемого числа шагов N. Таким образом, для всякого здесь целесообразно пользоваться асимптотическим выражением при весьма больших N, но при фиксированном .

Локальная теорема Муавра — Лапласа утверждает следующее:

Если вероятность события не зависит от номера испытания и отлична от 0 и I, то вероятность дается при больших N асимптотическим выражением

причем с ростом равномерно для всех , при которых находится в конечном интервале, т. е. где М — некоторое положительное число.

Нетрудно убедиться, что распределение Лапласа (6.1) дает то же среднее значение и дисперсию что и биномиальный закон. Можно поэтому записать в виде

С ростом N происходит абсолютное расплывание, но относительное обострение распределения Если фиксировать среднее значение и считать, что 0 меняется независимо, то при распределение становится все острее, переходя в дельтафункцию.

Отметим, что аппроксимация распределения посредством при возрастании N становится весьма точной очень быстро (и тем быстрее, чем ближе к 1/2). Если ввести то при имеем, например,

На рис. 1 дан график, показывающий для частного случая в каких областях плоскости применимы полученные приближения. В области со штриховкой, наклоненной вправо, превышает не более чем на 1%, а в области со штриховкой, наклоненной влево, меньше, чем тоже не более чем на 1%. Следует заметить, что вследствие выбора граничные кривые, строго говоря, имеют смысл только при целочисленных .

Рис. 1.

В верхнем правом углу графика пригодны обе асимптотические формулы, причем формула Лапласа удобней, так как она не содержит факториалов. В этой области — малых и не слишком малых — распределение Лапласа тоже зависит только от одного параметра Я, поскольку при

Таким образом, распределение Лапласа может быть записано здесь в виде