§ 28. Флуктуации в томсоновском ламповом генераторе

Рассмотрим применение уравнения Эйнштейна — Фоккера к простейшей автоколебательной системе с одной степенью свободы — ламповому генератору с колебательным контуром в анодной цепи, индуктивной обратной связью и кубической характеристикой лампы (мягкий режим самовозбуждения). Схема генератора показана на рис. 17. Говоря, что генератор является томсоновской системой, имеют в виду его близость к линейному гармоническому осциллатору, т. е. достаточную малость диссипативных и нелинейных членов в описывающем генератор дифференциальном уравнении. Конкретные предположения о схеме генератора имеют целью только упрощение динамической

модели, излагаемая же теория не связана рамками именно такой схемы, а применима в общем случае томсоновской автоколебательной системы, как автономной, так и неавтономной, и не только с одной степенью свободы, когда динамическое уравнение имеет вид

( — малый параметр), но и со многими степенями свободы.

Равным образом не играют роли, происхождение и конкретный вид нелинейности, т. е. теория приложима и к другим ламповым схемам, и к генераторам на полупроводниковых элементах, и к оптическим квантовым генераторам (в тех случаях, когда допустимо их квазиклассическое описание), и т. д.

Рис. 17.

Имея в виду последующее использование рассматриваемой модели (§ 53), мы учтем при составлении дифференциального уравнения генератора два источника флуктуаций — дробовой ток в анодной цепи лампы добавляющийся к мгновенному среднему (т. е. статистическому среднему, взятому по ансамблю идентичных генераторов) анодному току и тепловые флуктуации тока и напряжения в колебательном контуре генератора. Истинным источником этих тепловых флуктуаций является тепловое движение микрозарядов в проводниках, из которых сделан контур. Но в дальнейшем будет обоснована возможность феноменологического описания тепловых флуктуаций в электрической цепи как результата действия некоторой эквивалентной случайной электродвижущей силы (§ 54). Поэтому на схеме автогенератора (рис. 17) в колебательный контур включен «генератор» этой флуктуационной «тепловой» э. д. с. е (t).

В обозначениях, ясных из рис. 17, имеем

Исключая получаем для тока I уравнение

Поскольку мы считаем систему томсоновской, нелинейные и неконсервативные члены уравнения предполагаются малыми — порядка малого параметра . Обозначим

и введем следующие безразмерные переменные и коэффициенты:

Уравнение приводится тогда к виду

где

— действующая на систему флуктуационная «сила», связанная с дробовым током и тепловыми флуктуациями. Эту силу мы тоже считаем малой — того же порядка , что и диссипативный член уравнения (28.1). Как уже было сказано, ее конкретный вид и вообще ее явное присутствие в уравнении (28.2) понадобятся нам позднее. Сейчас она послужила лишь иллюстрацией того, как могут входить в описание динамической системы случайные воздействия. Дальнейшее развитие теории в этом параграфе, хотя оно и предполагает в действительности определенные ограничения статистических свойств , не оперирует с этой случайной «силой» явным образом, т. е. опирается на чисто динамическое уравнение

К томсоновским системам, близким к гармоническому осциллатору при применим, как известно, приближенный (асимптотический) метод Ван-дер-Поля, или, как его называют иначе, метод медленных возмущений. В первом (относительно малого параметра приближении решение уравнения (28.3) отличается от решения для гармонического осциллатора , где амплитуда и фаза — постоянные, тем, что оказываются медленными функциями времени, а именно зависящими от t через так называемое «медленное время»

Таким образом, скорости изменения амплитуды и фазы (т. е. добавка к частоте колебаний) являются величинами первого порядка малости относительно параметра

где штрихом обозначено дифференцирование по медленному времени 0.

Напомним упрощенную процедуру получения ван-дер-полевских (или так называемых укороченных) уравнений для томсоновской системы, т. е. уравнений первого приближения для медленно меняющихся амплитуды и фазы Излагая эту чисто динамическую теорию, мы будем исходить не из уравнения (28.3) для выбранной модели автогенератора, а из более общего уравнения томсоновской системы с одной степенью свободы:

Вычисляя с точностью до первого порядка по производные по t искомого решения (28.4), получаем

Что касается функции в (28.5), перед которой уже входит множитель то здесь можно ограничиться нулевым приближением для аргумента . В результате, после сокращения на получаем

Очевидно, функция f, зависящая от периодических по аргументов, сама периодична по и с периодом и может быть поэтому разложена в ряд Фурье:

где

Высокая селективность системы (28.5) (неконсервативные члены входят только в порядке , а в нулевом приближении мы имеем бесконечно селективный осциллятор означает, что из всего ряда Фурье существенны только члены, осциллирующие

по t с основной безразмерной частотой . Постоянную составляющую и высшие гармоники можно отбросить, так как они далеки от резонанса. Таким образом, уравнение принимает вид

По той же причине из всего спектра силы играет роль лишь ближайшая окрестность резонансной частоты 1. Вырезая из спектра некоторую полосу, центрированную около частоты 1 и имеющую ширину порядка (но заметно превосходящую ширину резонансной кривой регенерированного контура, рис. 18), мы можем заменить процессом у которого спектр ограничен указанной узкой полосой. Такой узкополосный процесс представляет собой колебание с медленно меняющимися амплитудой и частотой (модулированное колебание) и всегда может быть записан в виде

Рис. 18.

В дальнейшем нам придется более обстоятельно заняться свойствами функций Здесь же достаточно отметить только то очевидное обстоятельство, что в отсутствие внешней силы эти функции, конечно, тоже обращаются в нуль.

Подставляя выражение (28.6) для вместо в предыдущее уравнение и требуя, чтобы оно тождественно удовлетворялось по t, т. е. собирая члены с и приравнивая нулю получающиеся коэффициенты, получаем два уравнения Ван-дер-Поля для как функций «медленного времени»

Здесь введены обозначения

Если система автономна то уравнения (28.7) будут

Интегрирование первого из них дает при заданном начальном Значении закон изменения амплитуды Вяося это во второе уравнение, находим при заданном закон изменения фазы . В установившихся режимах (если они существуют) амплитуда постоянна , а сами эти постоянные значения определяются из уравнения . Пусть — какое-либо из решений этого уравнения. Тогда второе уравнение (28.9) определяет соответствующую фазу:

Таким образом, если , автоколебания (28.4) происходят с частотой немного отличной от 1 - собственной частоты линейного осциллатора.

Каковы же уравнения (28.9) для нашей простой модели автогенератора, у которой . Для Функций столь простого вида (полином по степеням а в данном случае — только по х) можно даже не вычислять интегралы (28.8), а обойтись элементарной тригонометрией. Подстановка и дает

Отбросив третью гармонику, имеем, следовательно, или , т. е. получаем уравнения

    (28.10)

Возможные состояния равновесия — это и при еще Элементарное исследование показывает, что при состояние равновесия устойчиво, а при неустойчиво, но устойчив предельный цикл с Фаза , т. е. сохраняет начальное значение. На рис. 19 показан ход траекторий на фазовой плоскости а в нижней части рисунка — соответствующая картина на плоскости Ван-дер-Поля, т. е. на плоскости с полярными координатами . Связь обеих картин в рассматриваемом первом приближении очень проста: если вращать плоскость Ван-дер-Поля вокруг начала отсчета с угловой частотой

единица, то медленные движения изображающей точки по лучу перейдут в спирали, а устойчивое положение равновесия в окружность (предельный цикл) на фазовой плоскости . Таково в общих чертах решение динамической задачи.

Как изменятся эти результаты при учете случайных воздействий и чем эти воздействия обусловлены? Остановимся сначала на втором вопросе.

Рис. 19.

Анодный ток лампы испытывает флуктуации не только из-за дробового эффекта (§§ 5, 10), но и вследствие «эффекта мерцания» — хаотических вариаций эмиссии катода. В самом колебательном контуре флуктуации тока и напряжения обусловлены не только тепловым движением электронов, но и рядом других причин. Генератор подвержен разнообразным внешним воздействиям — механическим, которые вызывают, в частности, вибрацию, электродов лампы (микрофонный эффект); температурным, которые могут влиять на значения параметров схемы; электромагнитным (электрические флуктуации в источниках питания, наводки) и т. п. Часть этих воздействий в принципе устранима: можно хорошо заблокировать источники питания, можно тщательно заэкранировать самый генератор, термостатировать и амортизировать его и т. д. Но такие явления, как дробовой эффект и тепловые флуктуации, принципиально неустранимы, так как они связаны с атомистической структурой электрического заряда. Эффект мерцания, обусловленный довольно сложными процессами диффузии и адсорбции в поверхностном слое катода, присутствует, как показывает опыт, во всех случаях, но, в отличие от дробовых и тепловых шумов, протекает довольно медленно по сравнению с высокочастотными колебаниями гене-, ратора.

Можно подразделить случайные воздействия на два вида. Одни вызывают медленные, но значительные изменения параметров устройства и соответствующие уходы частоты. Г. С. Горелик [16] предложил называть эти уходы и связанную с ними немонохроматичность колебаний техническими, подчеркивая этим их обусловленность внешними факторами, от которых

в принципе можно избавиться (хотя эффект мерцания дает вклад именно в эту группу). Принципиально же неустранимую немонохроматичность, обусловленную чрезвычайно быстрой, но неглубокой хаотической модуляцией вследствие дробовых и тепловых флуктуаций, он предложил называть естественной. В дальнейшем мы еще вернемся к вопросу о влиянии обоих названных видов хаотической модуляции на спектр автоколебаний. В данный момент нас интересует протекание этих явлений во времени и возможность описания их как непрерывного марковского процесса.

Как уже отмечалось (§ 26), такое описание предполагает достаточную «густоту» независимых случайных толчков: вероятность конечных изменений состояния за макроскопически малое время должна стремиться к нулю быстрее, чем , но вместе с тем интервал должен быть велик по сравнению со временем между случайными толчками, т. е. за время система должна испытывать очень много независимых случайных воздействий.

Что является макроскопическим масштабом малости Очевидно, период автоколебаний (равный по безразмерному времени t), так как другие временные характеристики томсоновской системы (время установления генератора или отдельно взятого колебательного контура) охватывают очень много периодов. Следовательно, которое в свою очередь гораздо больше времени между толчками. Но этому условию удовлетворяют только дробовые и тепловые флуктуации. Случайные воздействия, с которыми связаны технические уходы частоты, гораздо более медленны по сравнению не только с периодом, но даже со временем установления генератора. Отсюда ясно, что они не могут быть включены в схему случайного процесса без вероятностного последействия, если, конечно, не отказываться от трактовки генератора как системы с одной степенью свободы. Таким образом, понимая под состоянием совокупность двух переменных (или ) в момент времени t и описывая случайные изменения состояния как непрерывный двумерный марковский процесс, мы можем учесть влияние только дробовых и тепловых флуктуаций.

В результате этих флуктуаций, быстро меняющихся на протяжении даже маленького отрезка предельного цикла (малой доли периода), изображающая точка на фазовой плоскости [или на плоскости , где систематическое обращение по часовой стрелке с периодом исключено] совершает своего рода брауновское движение. Для того чтобы написать соответствующее уравнение Эйнштейна — Фоккера для вероятности перехода необходимо конкретизировать вид коэффициентов Мы допустим, что случайные толчки

изотропны, т. е. справедливы выражения (27.9) :

Кроме того, мы примем, что толчки однородны, т. е. В — постоянная величина, не зависящая от состояния генератора

Заметим, что это последнее предположение, строго говоря, непригодно для лампового генератора. Оно справедливо, если речь идет о тепловых флуктуациях в колебательном контуре, так как их интенсивность не зависит от силы текущего по проводникам тока. Но интенсивность флуктуаций анодного тока лампы (дробовой эффект) прямо пропорциональна среднему значению тока [см. (10.9)]. При наличии автоколебаний средний ток периодически пульсирует в такт с колебаниями напряжения на сетке. Следовательно, в переменных коэффициент В должен был бы зависеть не только от но и от времени t (периодическая нестационарность при установившемся режиме). Допуская постоянство В, мы переходим к сильно упрощенной модели, но она все же позволяет составить известное представление о влиянии флуктуаций на поведение генератора и довольно близка к реальным условиям в тех случаях, когда колебания анодного тока лампы относительно невелики.

Конечно, изложенные качественные соображения нельзя считать доказательством того, что при воздействии только «густых» дробовых и тепловых флуктуаций случайный процесс в генераторе действительно является непрерывным марковским процессом и подчинен (при дополнительном допущении однородности и изотропности случайных толчков) уравнению Эйнштейна—Фоккера (27.12). Более того, в это уравнение входят, кроме коэффициента В, еще детерминированные функции которые надо откуда-то взять. У нас пока нет регулярного способа нахождения этих функций, так что и в этом вопросе мы тоже пока вынуждены опереться на наводящие соображения.

В § 26 мы убедились, что в случае одномерного марковского процесса коэффициент в уравнении Эйнштейна — Фоккера совпадает с правой частью «динамического» уравнения (26.13) с точностью до аддитивной случайной функции, среднее значение которой равно нулю. В нашей двумерной задаче такие функции могли бы появиться в правых частях динамических уравнений (28.10), если бы при их выводе мы не отбросили в исходном уравнении (28.1) случайную «силу» (у которой среднее значение как раз равно нулю). Естественно допустить, что в качестве R и Ф в (27.12) надо подставить правые части динамических уравнений (28.10), т. е. положить

    (28.11)

Тогда уравнение (27.12) для вероятности перехода будет

Однородность процесса во времени (v зависит от ) является следствием независимости R и В от 0.

Все наши правдоподобные допущения, приведшие к уравнению (28.12), будут обоснованы в следующей главе, посвященной стохастическим дифференциальным уравнениям.

Физически очевидно, что процесс эргодичен — система обладает конечной «памятью», так что с ростом вероятность перехода превращается в одномерную вероятность состояния не зависящую от начальных значений

    (28.13)

Разумеется, полное решение уравнения (28.12) при начальном условии

    (28.14)

обнаружило бы справедливость (28.13) без каких-либо добавочных предположений, но мы сразу ограничимся более простой задачей — получением стационарного решения . Оно удовлетворяет уравнению

Подчеркнем теперь одно обстоятельство, которое станет совершенно очевидным в последующем (§ 29): стационарное распределение возможно только при условии, что в качестве области изменения фазы берется конечный интервал . Это вовсе не единственно возможная постановка задачи, но если она принята, то без дальнейшего ясно, что все значения в интервале равноправны. Это значит, что распределение по Ф равномерно не зависит от так что уравнение для принимает вид

Нетрудно убедиться, что не обладает особенностью в точке только то решение, которое обращает поток т. е. выражение, стоящее в скобках, в нуль. Интегрируя вторично, находим

причем С определяется из условия нормировки

Подставив в эти выражения R из (28.10) и вычислив интегралы получаем искомое стационарное распределение:

    (28.15)

где

На рис. 20 изображена поверхность при (возбужденный генератор), когда эта поверхность имеет вид кратера. Наивероятнейшее значение есть

т. е.

Рис. 20.

В последнем случае, соответствующем достаточному удалению от порога самовозбуждения в сторону отрицательных , можно пренебречь в показателе (28.15) четвертой степенью и воспользоваться асимптотическим разложением

Мы получаем тогда

    (28.16)

т. e. для амплитуды , как этого и следовало ожидать в случае линейного диссипативного контура, имеет место распределение Релея (24.10), причем

Напротив, если генератор достаточно сильно возбужден , то «вал», окружающий «кратер», имеет заметную вышину лишь над кольцом, содержащим предельный цикл. Полагая , ограничиваясь квадратом в показателе (28.15) и пользуясь тем, что теперь

получаем

Таким образом, радиальное отклонение от предельного цикла распределено в этом случае нормально с дисперсией

Рис. 21.

На рис. 21 показан ход в функции от для трех значений , в том числе на границе самовозбуждения Разумеется, при всех значениях увеличение интенсивности случайных толчков (рост В) ведет к расплыванию максимума