§ 2. Законы распределения случайных величин

Из сказанного ясно, почему физик (как и любой другой «потребитель» математической теории вероятностей), говоря о вероятности, всегда имеет в виду относительную частоту в статистическом ансамбле, в достаточно обширном статистическом

коллективе. Именно так он интерпретирует и закон распределения вероятностей случайной величины g, т. е. числовой характеристики исхода испытаний. Если возможные значения х величины g лежат в интервале частности, в неограниченном интервале ), то закон распределения задается интегральной функцией распределения

— неотрицательной неубывающей функцией х, дающей вероятность попадания g в субинтервал (случайное событие). При этом а по аксиоме II

Если с ростом х функция возрастает скачками высоты в точках а между этими точками постоянна (ступенчатая функция), то мы имеем частный случай дискретных возможных значений g, причем — это вероятность события

Числа аналогичны интенсивностям дискретных линий в линейчатом спектре или массам, сосредоточенным в точках на оси х, причем полная интенсивность или полная масса равна единице:

Если же функция распределения дифференцируема, т. е. существует плотность вероятности то это означает, что возможна непрерывная совокупность значений х, причем

Неотрицательная функция аналогична плотности интенсивности в сплошном спектре или плотности массы, непрерывно распределенной по интервалу оси

Как сказано, для физика числа или — это относительные частоты в статистическом ансамбле, т. е. доля тех реализаций случайного явления в обширном статистическом опыте, которые привели к значениям при дискретных возможных значениях или. к попаданию g в интервал при непрерывных возможных значениях.

Пусть, например, капелька краски внесена в момент в сосуд с водой, причем соблюдены необходимые предосторожности для того, чтобы не возникло движения воды. Тогда дальнейшее поведение капельки будет определяться диффузией

краски. Концентрацию краски с в любой точке в любой момент можно однозначно подсчитать, решив уравнение диффузии с заданными начальными и граничными условиями. Таким образом, это вполне детерминированное явление, подчиненное определенной динамической закономерности. Но если говорить о поведении отдельных частиц или молекул краски, то перед нами статистический опыт. Даже малая капля краски, скажем, объемом в содержит более молекул. Все они находятся в практически тождественных условиях и совершают в воде хаотическое брауновское движение, которое и приводит к диффузионному расплыванию капли. Следовательно, здесь реализуется весьма обширный ансамбль молекул краски и ее количество с в элементе объема в момент t — это те молекулы, которые случайно оказались к моменту t в этом элементе объема. Относительная концентрация (т. е. нормированная так, что по всему объему сосуда — это для физика и есть плотность вероятности попадания отдельной молекулы в к моменту t, если движение началось из точки в момент Детерминированное поведение концентрации — это проявление устойчивости относительных частот в достаточно обширном ансамбле.

В общем случае распределение вероятностей может быть смешанным — дискретно-непрерывным, — подобно суперпозиции линейчатого и сплошного спектров. Для лаконичной записи, охватывающей единым образом как дискретную, так и непрерывную компоненты, удобно пользоваться интегралом Стилтьеса по где приращение функции распределения на интервале может быть как бесконечно малым (сплошной спектр, ), так и конечным (дискретный спектр, . С помощью математического понятий интеграла Стилтьеса можно, например, записать среднее значение какой-либо детерминированной функции f от случайной величины в виде.

независимо от того, дифференцируема функция или нет. Физики, однако, предпочитают иную, хотя и менее «строгую»

но наглядную трактовку. Считается, что плотность имеет смысл везде и, соответственно,

В дискретном случае переходит в сумму дельта-функций в точках с весами

Интеграл (2.2) тотчас приводит тогда к «дискретной» формуле

Представление (2.3) отвечает не только строго дискретным возможным значениям, но и непрерывным, при условии, что плотность вероятности ) имеет достаточно острые пики. Ширина этих пиков должна быть мала по сравнению с масштабами, фигурирующими в данной конкретной задаче. Следует, однако, иметь в виду, что идеализация этих пиков в виде дельтавыбросов, принятая в начале расчета, не всегда приводит к тому же результату, какой получается при переходе к пределу (2.3) уже в окончательных выражениях. С этой оговоркой неслучайную (детерминированную) величину достоверно принимающую значение можно почти всегда рассматривать как случайную величину с предельно острой плотностью вероятности . Всякая динамическая теория предстает тогда перед нами как частный случай статистической теории, в которой сделан переход к предельно острым распределениям для величин, с которыми она оперирует. В подобном взгляде нет ничего парадоксального, в особенности после того, как волновая механика уже давно показала, что наиболее фундаментальные законы природы имеют статистический характер, а высказанный в свое время тезис, будто бы «наука — враг случайности», потерпел полный провал.

Практическая трактовка вероятности, как относительной частоты в достаточно обширном ансамбле, охватывает, разумеется, и многомерные случайные величины, т. е. совокупности случайных величин. В приведенном примере диффузии краски случайным был радиус-вектор каждой ее молекулы, т. е.. совокупность трех случайных координат молекулы. Более того, в этом примере мы, по сути дела, рассматривали не случайные величины, а случайную функцию: плотность вероятности (концентрация) с зависела и от времени t. Такого рода обобщение классической

теории вероятностей будет в дальнейшем находиться в центре нашего внимания. Сейчас важно подчеркнуть лишь то, что и это обобщение не уводит от частотной трактовки законов распределения вероятностей.

Мы обратимся теперь к одному специальному дискретному закону распределения — биномиальному закону, — который не только позволит познакомиться с некоторыми интересными фактами и приложениями, но и послужит для дополнительной подготовки к переходу от случайных величин к случайным функциям.