§ 56. Случайные функции со стационарными приращениями. Структурная функция

Если при изучении какого-либо случайного процесса мы не уверены заранее в его стационарности (например, как на рис. 75, конечная продолжительность опыта не позволяет судить о том, какой характер имеет наблюдаемый медленный ход «локального» среднего значения), то это еще не всегда означает необходимость использования теории нестационарных процессов самого общего вида. Существует большой класс нестационарных процессов, охватывающий стационарные процессы в качестве частного случая и вместе с тем еще настолько специальный, что соответствующая теория может быть продвинута гораздо дальше, чем это можно сделать в самом общем случае. Достаточно указать, забегая вперед, что для класса процессов, о которых идет речь и которые называются случайными процессами (функциями) со стационарными приращениями (СПСП), сохраняется локализация по частоте для моментов второго порядка, т. е. сохраняется понятие спектральной интенсивности. Класс случайных функций со стационарными приращениями и адекватные методы их описания были указаны А. Н. Колмогоровым в 1940 г.).

Составим для нестационарного процесса приращение на интервале времени произвольной, но фиксированной длительности Т:

Очевидно, медленные изменения будут мало сказываться на значениях и тем меньше, чем они медленнее. Если содержит постоянную составляющую, то она вообще выпадает из . В результате подавления компонент с очень

большими периодами может оказаться, что приращение стационарно. В этом случае процесс называется случайным процессом со стационарными первыми приращениями.

В соответствии с определением должно быть

откуда следует, что среднее значение может быть лишь линейной функцией

Это, конечно расширяет наши возможности по сравнению со стационарным процессом, для которого должно быть , т. е. . Нетрудно сообразить, что для процесса со стационарными вторыми приращениями, т. е. стационарной разностью среднее значение будет полиномом не выше второй степени:

и т. д. Мы ограничимся процессами со стационарными первыми приращениями и поэтому опустим в дальнейшем слово «первыми», говоря просто о СПСП.

Средним значением вида обладает, например, процесс

где а — случайная величина с — стационарный процесс с . Но стационарность означает также, что смешанный момент является функцией только от . Составив для (56.3) разность нетрудно подсчитать, что

(к. с. — комплексно-сопряженная величина). Отсюда видно, что при некоррелированных а и когда второй член исчезает и условие независимости от t будет выполнено.

Для простоты мы ограничимся далее вещественными случайными процессами. Рассмотрим флуктуацию СПСП , т. е. величину

и введем так называемую структурную функцию определенную как средний квадрат приращения флуктуации на интервале :

Для СПСП, если говорить о моментах второго порядка, структурная функция служит столь же основной характеристикой, как функция корреляции для стационарных процессов. Очевидно, является мерой интенсивности тех флуктуаций периоды которых не очень близки к , где а также не чрезмерно велики по сравнению с очень медленных вариаций функция «не чувствует».

При помощи тождества

нетрудно установить, что функция корреляции стационарного приращения (56.1) может быть выражена через структурную функцию самого СПСП :

Отсюда видно, что правая часть будет зависеть только от при условии однородности структурной функции:

В этом случае, обозначая получаем из (56.6)

Разумеется, структурную функцию можно составить и тогда, когда процесс стационарен. Так как при этом то из (56.5) с учетом (56.7) получаем

где, как обычно,

Если для выполнено достаточное условие эргодичности, а именно , то

и (56.9) можно переписать в виде

    (56.10)

Таким образом, для стационарного эргодического процесса можно пользоваться как функцией корреляции, так и структурной функцией, причем последняя обладает тем преимуществом, что ее область применимости шире: она пригодна для описания свойств не только стационарных процессов, но и СПСП. Кроме того, на не влияют возможные погрешности в определении Если оказывается, что существует, то по (56.10) тотчас же вычисляется .

Перейдем теперь к спектральным разложениям СПСП и их структурных функций.

Производная СПСП, согласно определению этого вида случайного процесса, стационарна и, следовательно, может быть представлена интегралом Фурье — Стилтьеса:

    (56.11)

где и

Интегрируя (56.11) от 0 до t, получаем

    (56.13)

где — некоторая случайная величина. Для флуктуации имеем

    (56.14)

Таким образом, структурная функция § (0, в соответствии с (56.5) и (56.7), будет равна

Подставив сюда (56.12), находим

Если бы процесс был стационарным, то приращение было бы его спектральной интенсивностью в интервале , а его корреляционная функция выражалась бы в виде

Используя спектральную интенсивность можно записать спектральное разложение структурной функции СПСП в следующей окончательной форме:

    (56.16)

Формулы (56.13) и (56.16) и представляют собой то, что следует понимать под спектральным разложением соответственно самого СПСП и его структурной функции. Разумеется, вместо можно ввести в формулы (56.13) и (56.14) спектральную амплитуду обладающую, согласно (56.12), функцией корреляции

Смысл тот же, что и у стационарных процессов: это спектральная интенсивность в интервале частот . Точно так же в случае сплошного спектра производная имеет для СПСП и для стационарных процессов смысл интенсивности на единичную полосу частот. Это позволяет, пользуясь спектральным описанием, не заботиться заранее о том, стационарен ли рассматриваемый процесс или же является СПСП. Однако ограничения, налагаемые на в этих двух случаях существенно различны: интеграл (56.16) существует при менее жестких условиях, чем интеграл (56.15).

Для сходимости обоих интегралов на бесконечности должно выполняться одно и то же условие:

    (56.17)

но для сходимости в нуле интеграла (56.16), представляющего структурную функцию, необходимо выполнение требования

    (56.18)

тогда как сходимость интеграла (56.15), представляющего корреляционную функцию, требует выполнения более жесткого условия

    (56.19)

Таким образом, структурная функция допускает в нуле особенность а корреляционная функция существует лишь при , т. е. при конечной полной интенсивности . Если , то существует, но при расходится, так что теряет смысл [см. (56.10)].

Нетрудно тем же путем убедиться, что у процесса со стационарными вторыми приращениями уже допустима в нуле особенность и, вообще, при стационарных приращениях допустимо . В § 41 было подчеркнуто, что стационарность в широком смысле включает два требования: во-первых, спектральная «масса» должна быть сосредоточена на биссектрисе и, во-вторых, линейная плотность этой «массы» должна быть интегрируема по со на всем интервале . Именно это последнее условие нарушено у СПСП. Первое же требование, т. е. концентрация спектральной «массы» на прямой для СПСП выполняется.

Итак, оперируя СПСП, мы охватываем нестационарные процессы у которых среднее значение может быть линейной функцией , а спектральная интенсивность может быть бесконечно велика из-за быстрого роста в области низких частот. Смотря по тому, интегрируема ли особенность в нуле или нет, мы можем затем перейти соответственно либо к по формуле (56.15), либо к по формуле (56.16).

Эти замечания полностью применимы и к эффекту мерцания, о котором шла речь в предыдущем параграфе. Для трактовки этого флуктуационного процесса нет никакой необходимости предполагать, что он стационарен, и тем самым налагать излишние и неоправданные ограничения на ход спектральной плотности при малых со. То обстоятельство, что эта плотность растет при уменьшении со во всяком случае медленнее, чем дает возможность рассматривать эффект мерцания как СПСП.

Ясно, далее, что если частота колебания является стационарным процессом, то фаза этого колебания, т. е. интеграл от будет СПСП. Средний квадрат набега фазы —

величина введенная в § 45, — представляет собой, очевидно, не что иное, как структурную функцию , а формула (45.4) дает спектральное разложение этой структурной функции, причем спектральная плотность СПСП есть

где — спектральная плотность стационарного процесса

Приведем теперь формулы, позволяющие вычислять спектральную плотность (случай сплошного спектра) по известной структурной функции. Дифференцируя (56.16) по , получаем

Обращение этих интегралов Фурье дает

    (56.20)

Формула (56.20) имеет смысл в том случае, если

    (56.20а)

а (56.21) — при выполнении других условий:

    (56.21а)

Располагая выражением для можно проверить, какие из приведенных условий удовлетворены, и взависимости от этого пользоваться для нахождения формулой (56.20) или (56.21).

Вернемся в заключение к импульсному пуассоновскому процессу

и посмотрим, какие условия должны быть наложены на если мы хотим, чтобы было СПСП. Пусть так что структурная функция будет

В предположении, что при или же достаточно быстро убывает при нетрудно убедиться обычным путем (см.§ 10), что

Для существования установившегося процесса, т. е. для возможности устремить верхний предел t в бесконечность, теперь требуется достаточно быстрое убывание не а разности . Полагая, как и в § 55, что при функция имеет вид легко убедиться, что для установления необходимо может даже возрастать с ростом , но медленнее Тогда становится с ростом t СПСП и имеет структурную функцию

Пусть производная F (0) разложима в интеграл Фурье:

Тогда

и, следовательно,

В результате структурная функция принимает вид

и сопоставление этой формулы с (56.16) показывает, что

есть спектральная плотность СПСП

Условие стационарности при которой существует функция корреляции требует, чтобы возрастало при медленнее — медленнее Нетрудно сообразить, что это есть условие разложимости в интеграл Фурье самого импульса спектральная амплитуда которого равна в этом случае