Главная > Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Глава VI. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 38. Комплексные случайные функции. Аналитический сигнал

В § 18 уже была дана краткая характеристика корреляционной теории, которая описывает случайную функцию ее средним значением и ее моментами второго порядка. По причинам, которые выяснятся в дальнейшем (§ 41), корреляционная теория наиболее интересна и наиболее продвинута в применении к стационарным случайным функциям. Основное внимание мы уделим далее именно таким функциям, хотя в некоторой степени будут затронуты и нестационарные процессы.

Прежде чем переходить к конкретному содержанию корреляционной теории, сделаем одно обобщение — введем в рассмотрение комплексные случайные функции. Под такой функцией понимается, как обычно, следующая линейная комбинация из двух вещественных случайных функций

задаваемая совместными функциями распределения g и Очевидно,

Что касается моментов второго порядка, то в большинстве случаев приходится пользоваться теми из них, которые приводят к вещественным среднеквадратичным величинам. Таким является смешанный момент второго порядка

где g и - значения g и в момент времени V. В частности,

— величина вещественная и положительная. Аналогично определяется и функция корреляции:

В частности, дисперсия тоже будет вещественной и положительной:

Однако в ряде задач удобно рассматривать также другие моменты второго порядка, составленные без использования комплексно-сопряженных случайных функций; эти моменты мы будем называть «вторыми» (второй смешанный момент, вторая функция корреляции) и отмечать тильдой:

В частности, при

Разумеется, две комплексные функции полностью определяют все моменты второго порядка вещественных функций

Мы будем рассматривать только такие случайные функции, у которых момент существует и непрерывен при всех откуда следует, что он существует и непрерывен при всех t и t. Поскольку средний квадрат модуля конечен, будет конечен и модуль среднего значения, так как

При переходе к частному случаю стационарной функции мы будем понимать стационарность в широком смысле (§ 18), т. е. включать в нее: 1) постоянство среднего значения (что

позволяет во всех случаях рассматривать за вычетом , т. е. считать , 2) стационарность В (а значит, и функции корреляции ), т. е. их зависимость только от , и 3) непрерывность в нуле.

Пусть, например, где — детерминированная комплексная функция, а с — случайная комплексная величина. Условие 1) требует, чтобы было Тогда и

Условия 2) и 3) выполняются только для функции когда

При имеем

т. е. условия 2) и 3) выполнены, но 1) нарушено, из чего видно, между прочим, что оно является независимым условием.

Следует заметить, что даже при выполнении всех трех условий «вторые» моменты, вообще говоря, нестационарны (зависят не только от сдвига , но и от t). В приведенном примере, когда имеем

Реальные процессы описываются вещественными функциями t, но, как известно, часто гораздо удобней работать с комплексными величинами, чем широко пользуются во многих областях физики и, в том числе, в теории колебаний и волн. Однако, заменяя вещественный процесс комплексной функцией путем добавления произвольной мнимой части , мы неоправданным образом «удваиваем информацию». Этого можно избежать лишь наложением однозначной связи между Способ установления такой связи, обладающий рядом достоинств, которые полностью выявятся в дальнейшем, был предложен Д. Габором [1]. На данной стадии мы формулируем этот способ как некоторый рецепт.

Прежде всего, мы потребуем, чтобы продолжение на комплексную плоскость давало аналитическую функцию которая при переходит в Выберем теперь так, чтобы комплексная функция была регулярной и аналитической в верхней полуплоскости комплексного переменного х и чтобы при всяком t ее модуль достаточно быстро стремился к нулю при Это сильные требования, ведущие к тому, что оказываются парой трансформант преобразования Гильберта и, следовательно, однозначно

связаны друг с другом. Действительно, по формуле Коши имеем

где полюс лежит в верхней полуплоскости , а путь Г охватывает этот полюс (рис. 29). В силу первого требования к можно растянуть контур Г так, чтобы он охватывал всю верхнюю полуплоскость. Убывание же при должно быть настолько быстрым, чтобы интеграл по бесконечной полуокружности не давал вклада. Тогда остается только интеграл по вещественной оси:

Но

причем в пределе, при вещественная часть этого выражения дает главное значение интеграла от а мнимая часть переходит в дельта-функцию Таким образом, при переходе к формула (38.4) дает

откуда

Рис. 29.

Черта на знаке интеграла означает, что он вычисляется в смысле главного значения Коши. Подставив в правую и левую части полученного соотношения получаем, что связаны преобразованиями Гильберта:

Легко видеть, что эти преобразования можно записать и иначе:

Комплексная функция построенная указанным способом из вещественной функции называется аналитическим сигналом — термин, отражающий аналитичность в верхней полуплоскости комплексного . Аналитический сигнал широко используется и в теории информации (которой мы не касаемся), и в теории когерентности (которую мы затронем ниже, в § 46, а также в части II книги). В классической (не квантовой) теории когерентности волновых полей аналитический сигнал, если не говорить о том, что он не содержит никакой информации сверх той, какая заключена в обладает лишь формальными преимуществами, свойственными оперированию комплексными величинами. Но в квантовой электродинамике он приобретает и непосредственный физический смысл, так как описывает собственные функции оператора уничтожения фотонов.

Построение аналитического сигнала, конечно, не содержит обязательных предположений о том, является ли исходная вещественная функция детерминированной или случайной. Обратимся теперь именно к этому последнему случаю. Нетрудно понять, что однозначная связь предопределяет и то, что вероятностные свойства полностью вытекают из статистики Хотя это и естественно, но отнюдь не тривиально, поскольку связь между даваемая преобразованиями (38.5), нелокальна по t. Исчерпывающий анализ между статистикой аналитического сигнала и статистикой исходного вещественного случайного процесса проведен в работе . Оставаясь в рамках корреляционной теории, мы ограничимся свойствами моментов первого и второго порядков.

Средние значения связаны, очевидно, теми же преобразованиями Гильберта (38.5). Отсюда следует, что в случае стационарного процесса необходимо Действительно, если , то из первой формулы (38.5) [или (38.6)] вытекает, что Но тогда по второй формуле и

Умножив первую формулу (38.5) на а вторую — на и усреднив результаты, получаем соотношения

где Умножая те же формулы соответственно на получаем после усреднения обращенные преобразования Гильберта:

Таким образом, для моментов второго порядка мы имеем две пары трансформант Гильберта.

Посмотрим, что дают эти соотношения в случае стационарного (в широком смысле) процесса когда где Вторая формула (38.8) принимает вид

стационарно связаны, причем из (38.9) следует, что — нечетная функция :

Но тогда из (38.7) вытекает, что зависит от и равно

Итак, при стационарном исходном вещественном процессе сопряженный по Гильберту процесс тоже стационарен и стационарно связан с причем

    (38.10)

где и аналогично для . Согласно (38.1) и (38.2) это означает, что у стационарного аналитического сигнала

    (38.11)

Так как вещественная и мнимая части связаны преобразованием Гильберта, тоже является аналитическим сигналом. Запишем в виде

    (38.12)

Аналитичность и регулярность в верхней полуплоскости комплексного переменного означает, что функция

тоже аналитическая в этой полуплоскости, но в нулях она может иметь логарифмические точки ветвления. В отсутствие таких точек в верхней полуплоскости не только аналитичен, но и регулярен и, следовательно, его вещественная и мнимая части тоже связаны преобразованиями Гильберта:

    (33.13)

Таким образом, фаза однозначно определена в этом случае модулем и обратно.

В дальнейшем, рассматривая комплексные случайные процессы, мы будем в тех случаях, когда это окажется целесообразным, пользоваться аналитическим сигналом.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru