Глава VI. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 38. Комплексные случайные функции. Аналитический сигнал

В § 18 уже была дана краткая характеристика корреляционной теории, которая описывает случайную функцию ее средним значением и ее моментами второго порядка. По причинам, которые выяснятся в дальнейшем (§ 41), корреляционная теория наиболее интересна и наиболее продвинута в применении к стационарным случайным функциям. Основное внимание мы уделим далее именно таким функциям, хотя в некоторой степени будут затронуты и нестационарные процессы.

Прежде чем переходить к конкретному содержанию корреляционной теории, сделаем одно обобщение — введем в рассмотрение комплексные случайные функции. Под такой функцией понимается, как обычно, следующая линейная комбинация из двух вещественных случайных функций

задаваемая совместными функциями распределения g и Очевидно,

Что касается моментов второго порядка, то в большинстве случаев приходится пользоваться теми из них, которые приводят к вещественным среднеквадратичным величинам. Таким является смешанный момент второго порядка

где g и - значения g и в момент времени V. В частности,

— величина вещественная и положительная. Аналогично определяется и функция корреляции:

В частности, дисперсия тоже будет вещественной и положительной:

Однако в ряде задач удобно рассматривать также другие моменты второго порядка, составленные без использования комплексно-сопряженных случайных функций; эти моменты мы будем называть «вторыми» (второй смешанный момент, вторая функция корреляции) и отмечать тильдой:

В частности, при

Разумеется, две комплексные функции полностью определяют все моменты второго порядка вещественных функций

Мы будем рассматривать только такие случайные функции, у которых момент существует и непрерывен при всех откуда следует, что он существует и непрерывен при всех t и t. Поскольку средний квадрат модуля конечен, будет конечен и модуль среднего значения, так как

При переходе к частному случаю стационарной функции мы будем понимать стационарность в широком смысле (§ 18), т. е. включать в нее: 1) постоянство среднего значения (что

позволяет во всех случаях рассматривать за вычетом , т. е. считать , 2) стационарность В (а значит, и функции корреляции ), т. е. их зависимость только от , и 3) непрерывность в нуле.

Пусть, например, где — детерминированная комплексная функция, а с — случайная комплексная величина. Условие 1) требует, чтобы было Тогда и

Условия 2) и 3) выполняются только для функции когда

При имеем

т. е. условия 2) и 3) выполнены, но 1) нарушено, из чего видно, между прочим, что оно является независимым условием.

Следует заметить, что даже при выполнении всех трех условий «вторые» моменты, вообще говоря, нестационарны (зависят не только от сдвига , но и от t). В приведенном примере, когда имеем

Реальные процессы описываются вещественными функциями t, но, как известно, часто гораздо удобней работать с комплексными величинами, чем широко пользуются во многих областях физики и, в том числе, в теории колебаний и волн. Однако, заменяя вещественный процесс комплексной функцией путем добавления произвольной мнимой части , мы неоправданным образом «удваиваем информацию». Этого можно избежать лишь наложением однозначной связи между Способ установления такой связи, обладающий рядом достоинств, которые полностью выявятся в дальнейшем, был предложен Д. Габором [1]. На данной стадии мы формулируем этот способ как некоторый рецепт.

Прежде всего, мы потребуем, чтобы продолжение на комплексную плоскость давало аналитическую функцию которая при переходит в Выберем теперь так, чтобы комплексная функция была регулярной и аналитической в верхней полуплоскости комплексного переменного х и чтобы при всяком t ее модуль достаточно быстро стремился к нулю при Это сильные требования, ведущие к тому, что оказываются парой трансформант преобразования Гильберта и, следовательно, однозначно

связаны друг с другом. Действительно, по формуле Коши имеем

где полюс лежит в верхней полуплоскости , а путь Г охватывает этот полюс (рис. 29). В силу первого требования к можно растянуть контур Г так, чтобы он охватывал всю верхнюю полуплоскость. Убывание же при должно быть настолько быстрым, чтобы интеграл по бесконечной полуокружности не давал вклада. Тогда остается только интеграл по вещественной оси:

Но

причем в пределе, при вещественная часть этого выражения дает главное значение интеграла от а мнимая часть переходит в дельта-функцию Таким образом, при переходе к формула (38.4) дает

откуда

Рис. 29.

Черта на знаке интеграла означает, что он вычисляется в смысле главного значения Коши. Подставив в правую и левую части полученного соотношения получаем, что связаны преобразованиями Гильберта:

Легко видеть, что эти преобразования можно записать и иначе:

Комплексная функция построенная указанным способом из вещественной функции называется аналитическим сигналом — термин, отражающий аналитичность в верхней полуплоскости комплексного . Аналитический сигнал широко используется и в теории информации (которой мы не касаемся), и в теории когерентности (которую мы затронем ниже, в § 46, а также в части II книги). В классической (не квантовой) теории когерентности волновых полей аналитический сигнал, если не говорить о том, что он не содержит никакой информации сверх той, какая заключена в обладает лишь формальными преимуществами, свойственными оперированию комплексными величинами. Но в квантовой электродинамике он приобретает и непосредственный физический смысл, так как описывает собственные функции оператора уничтожения фотонов.

Построение аналитического сигнала, конечно, не содержит обязательных предположений о том, является ли исходная вещественная функция детерминированной или случайной. Обратимся теперь именно к этому последнему случаю. Нетрудно понять, что однозначная связь предопределяет и то, что вероятностные свойства полностью вытекают из статистики Хотя это и естественно, но отнюдь не тривиально, поскольку связь между даваемая преобразованиями (38.5), нелокальна по t. Исчерпывающий анализ между статистикой аналитического сигнала и статистикой исходного вещественного случайного процесса проведен в работе . Оставаясь в рамках корреляционной теории, мы ограничимся свойствами моментов первого и второго порядков.

Средние значения связаны, очевидно, теми же преобразованиями Гильберта (38.5). Отсюда следует, что в случае стационарного процесса необходимо Действительно, если , то из первой формулы (38.5) [или (38.6)] вытекает, что Но тогда по второй формуле и

Умножив первую формулу (38.5) на а вторую — на и усреднив результаты, получаем соотношения

где Умножая те же формулы соответственно на получаем после усреднения обращенные преобразования Гильберта:

Таким образом, для моментов второго порядка мы имеем две пары трансформант Гильберта.

Посмотрим, что дают эти соотношения в случае стационарного (в широком смысле) процесса когда где Вторая формула (38.8) принимает вид

стационарно связаны, причем из (38.9) следует, что — нечетная функция :

Но тогда из (38.7) вытекает, что зависит от и равно

Итак, при стационарном исходном вещественном процессе сопряженный по Гильберту процесс тоже стационарен и стационарно связан с причем

    (38.10)

где и аналогично для . Согласно (38.1) и (38.2) это означает, что у стационарного аналитического сигнала

    (38.11)

Так как вещественная и мнимая части связаны преобразованием Гильберта, тоже является аналитическим сигналом. Запишем в виде

    (38.12)

Аналитичность и регулярность в верхней полуплоскости комплексного переменного означает, что функция

тоже аналитическая в этой полуплоскости, но в нулях она может иметь логарифмические точки ветвления. В отсутствие таких точек в верхней полуплоскости не только аналитичен, но и регулярен и, следовательно, его вещественная и мнимая части тоже связаны преобразованиями Гильберта:

    (33.13)

Таким образом, фаза однозначно определена в этом случае модулем и обратно.

В дальнейшем, рассматривая комплексные случайные процессы, мы будем в тех случаях, когда это окажется целесообразным, пользоваться аналитическим сигналом.