§ 24. Переход от дискретной последовательности к процессу с непрерывным множеством состояний. Распределение Релея

Прежде чем вывести основное дифференциальное уравнение для марковских процессов с непрерывным множеством возможных состояний, укажем на применяемый иногда упрощенный прием: время t и множество состояний х подразделяются на весьма малые промежутки составляется уравнение для марковской последовательности, а затем делается переход к пределу при

Рассмотрим конкретный пример блуждания частицы, которая в моменты времени скачет на шаг вправо или влево с вероятностями . Это уже знакомая задача об «абсолютно пьяном человеке» или о сложении колебаний со случайными амплитудами (§§ 4 и 6). Мы имеем здесь однородную марковскую последовательность, но не стационарную (распределение зависит от номера испытания).

Напомним, что вероятность того, что за N шагов будет сделано шагов вправо [частица уйдет вправо на , или же интенсивность суммы N колебаний будет ], дается биномиальным законом . Но сейчас мы подойдем к этой задаче с несколько иной стороны.

Обозначим абсциссу частицы в момент через и, считая, что в момент t = 0 частица вышла из точки введем вероятность перехода за N шагов:

Нетрудно связать с биномиальной вероятностью но, как сказано, теперь мы будем искать не обращаясь к (см. задачу 6).

Частица может попасть при шаге в точку если при шаге она оказалась в или в причем из первого положения — с вероятностью , а из второго

— с вероятностью q. Следовательно, по формуле полной вероятности имеем

— уравнение Маркова для данной задачи. Если изменить обозначение вероятности перехода, введя то уравнение перепишется в виде

Разложим теперь v в правой части по степеням Учитывая, что получаем

Разделим уравнение на и перейдем к пределу при причем предположим, что существуют следующие конечные пределы:

Таким образом, допускается, что а в силу чего все члены в (24.1), кроме записанных в первой строке, стремятся при к нулю. В результате указанный предельный переход приводит к следующему дифференциальному уравнению для плотности вероятности перехода

Какому начальному условию должно удовлетворять решение при В общем случае для вероятности перехода поскольку при с достоверностью должно быть имеем

В нашем случае , так что надо требовать

и, конечно,

Этими условиями определено решение

т. е. нормальное распределение с и дисперсией Для произвольных начальных и мы получили бы

Мы имеем, таким образом, однородный, но нестационарный марковский процесс.

Если бы задача ставилась о блужданиях частицы между двумя отражающими стенками, удаленными на расстояние l друг от друга (при этом, естественно, не должно быть систематического потока, т. е. то существовала бы предельная стационарная вероятность, а именно равномерное распределение с плотностью Мы имели бы

В этом случае налицо и эргодичность процесса, так как не зависит от начального состояния . Напротив, при движении частицы между поглощающими стенками (прилипание частицы на стенках), предельное распределение существует и стационарно, но эргодичности нет, так как сохраняет зависимость от

Нетрудно убедиться в том, что вероятность перехода (24.6) удовлетворяет уравнению Смолуховского (22.5).

Поведение с ростом t вполне очевидно: распределение постепенно расплывается в соответствии с ростом дисперсии причем максимум (среднее значение) равномерно перемещается из точки при с постоянной скоростью А. Иллюстрацией может служить движение брауновской частицы при наличии силы тяжести. Систематическая скорость равна при этом , где h — коэффициент стоксова трения. Таким образом, (24.6) описывает диффузию в равномерном потоке, что, впрочем, ясно уже из исходного дифференциального уравнения (24.3). При мы возвращаемся

к задаче об изотропных блужданиях или же о распределении суммарной амплитуды х, получающейся в результате сложения бесконечно большого числа N колебаний с равновероятными бесконечно малыми амплитудами . В последнем случае нас интересует обычно не х, а интенсивность . Нетрудно подсчитать при помощи формулы (24.5) с , что

так что (ср. § 4)

Относительного сглаживания флуктуаций интенсивности нет: как бы много колебаний мы ни сложили, средний разброс интенсивности будет того же порядка, что и сама средняя интенсивность.

Вопрос об интенсивности, получаемой в результате сложения большого числа колебаний со случайными амплитудами, впервые рассмотрел описанным способом Релей (см. [6], § 42а). Он исследовал также более общий случай равномерного распределения фаз складываемых колебаний в интервале т. е. случай двумерной векторной диаграммы, или задачу о блужданиях частицы не в одном измерении, а на плоскости (рис. 12). Здесь речь идет о вероятности перехода к моменту t из начала О в точку

Рис. 12.

Попадание в в момент t может осуществиться в результате перехода с любой точки окружности радиуса а (длина шага) с центром в если частица в момент была на этой окружности. При этом все направления элементарного вектора а равновероятны (равномерное распределение фазы изотропные блуждания), так что

Разлагая подынтегральное выражение по степеням и выполняя интегрирование, получаем

Если предположить теперь, что

то в результате предельного перехода получаем

— двумерное уравнение диффузии, нормированное решение которого, переходящее при в есть

т. е. произведение нормальных распределений для компонент х и у, которые, таким образом, независимы. Наивероятнейшее и среднее значения вектора равны нулю.

Если интересоваться абсолютной величиной вектора и его фазой т. е. перейти на плоскости к полярным координатам то вероятность перехода запишется в виде

Из (24.9) следует, что независимы, причем фаза равномерно распределена в , а амплитуда подчинена закону распределения

    (24.10)

называемому распределением Релея. Через мы обозначили среднее квадратичное значение компонент х и у:

Рис. 13.

Из (24.10) следует, что наивероятнейшее значение есть (рис. 13) и что

    (24.11)

Последнее выражение вытекает также из того, что

Изложенный релеевский метод явился первым шагом на пути к установлению общего дифференциального уравнения, которому удовлетворяют вероятности перехода и которое вытекает из уравнения Смолуховского при определенных предположениях об этих вероятностях. Это дифференциальное уравнение

принято называть уравнением Эйнштейна — Фоккера по имени ученых, которые впервые его вывели и использовали. А. Н. Колмогоров дал в 1931 г. строгое его обоснование. К выводу и обсуждению этого уравнения мы перейдем в § 26.