§ 59. Периодически-нестационарные процессы

Мы уже упоминали о таких процессах, для которых моменты оказывались периодически зависящими от времени. Так, например, процесс вида

где - периодическая детерминированная функция, а — стационарный случайный процесс, имеет периодические по t моменты:

Таким образом, выделяя на выходе смесителя произведение поданных на его вход периодического колебания и стационарного шума, мы получаем периодически-нестационарный процесс.

Другими примерами могут служить магнитные шумы при циклическом перемагничивании ферромагнетика и дробовой ток в электронной лампе, если средний ток меняется периодически, как это, в частности, имеет место в возбужденном автогенераторе (напомним, что дисперсия дробового шума пропорциональна среднему току). Очевидно, в сильно нелинейных автоколебательных системах, у которых предельный цикл не близок к окружности, даже малые флуктуации будут периодически-нестационарны с периодом автоколебаний [43].

Укажем еще на один важный источник таких процессов. Это линейные системы с периодически меняющимися параметрами, к которым относятся и параметрические усилители с периодической накачкой. Если на вход такой системы воздействует гармоническое колебацие то на выходе получается колебание

, где мгновенная функция передачи периодически (с периодом изменения параметров) зависит от t. Стационарный входной процесс

у которого

дает, таким образом, на выходе процесс

у которого среднее значение

и смешанный момент

периодически [с периодом изменения зависят от

Мы ограничиваемся в этих примерах моментами первого и второго порядка, т. е. не выходим за рамки корреляционной теории. Для нужд этой теории можно определить периодически-нестационарный (и для простоты — вещественный) процесс как процесс, у которого двумерная функция распределения, зависящая от моментов времени t и t, при любом фиксированном сдвиге представляет собой периодическую функцию t. Таким образом,

где

Из вещественности следует, что

Из условия симметрии поскольку

получаем

Из условия согласованности

с учетом (59.3) имеем

так что

причем, конечно, . Наконец, из условия нормировки , следует, что

Кроме того, должны быть при любых значениях аргументов неотрицательны. Отсюда тотчас же вытекает, что вещественные коэффициенты Фурье обладают всеми свойствами двумерной и одномерной функций распределения стационарного процесса. Следовательно, усреднение и а также любых вычисляемых с их помощью моментов по времени (по периоду приводит к функциям распределения и моментам стационарного процесса.

Согласно (59.6) и (59.1) имеем следующие выражения для моментов периодически-нестационарного процесса

    (59.10)

Заметим, что из (59.4) и (59.9) вытекает соотношение

    (69.11)

которое, впрочем, можно вывести и из равенства

являющегося следствием самого определения момента . Из (59.3) и (59.9) или же просто из вещественности имеем также

    (59.12)

Посмотрим теперь, какими корреляционными свойствами должны обладать спектральные амплитуды в гармоническом разложении

    (59.13)

если - периодически-нестационарный процесс. Взяв среднее значение и потребовав, чтобы оно выражалось рядом Фурье (59.8), получаем

    (59.14)

Составив при помощи (59.13) момент и потребовав, чтобы он выражался рядом Фурье (59.9), находим

    (59.15)

причем

    (59.16)

Выражение (59.15) означает, что у периодически-нестационарного процесса комплексная «масса» распределена на плоскости на прямых (рис. 78), в отличие от стационарных процессов, у которых эта «масса» сосредоточена только на биссектрисе Таким образом, средние билинейные (и, в частности, энергетические) характеристики периодически-нестационарного процесса не локализуемы по частоте, но вклад в спектральный интервал вносят лишь те гармонические колебания из разложения (59.13), частоты которых разнятся на .

Из (59.11), (59.12) и (59.16) следует, что спектральные плотности удовлетворяют соотношениям

    (59.17)

откуда, в частности, вытекает, что

т. е. - вещественная четная функция. Нетрудно доказать также, что неотрицательна. Впрочем, мы уже говорили, что обладают всеми свойствами смешанного момента и функции корреляции стационарного случайного процесса, т. е. этими свойствами обладают сглаженные по периоду величины

Рис. 78.

Какой смысл имеют эти временные средние? Может показаться, что усредненные по периоду моменты периодически-нестационарного процесса равны моментам того стационарного процесса, который получается при усреднении по периоду, т. е. процесса

Высказанное предположение состоит в том, что

Первое из этих равенств действительно справедливо. Согласно (59.8) имеем

Однако второе соотношение не имеет места. В самом деле, пользуясь (59.9), получаем

Поворот осей на плоскости (0, 0) на 45° позволяет свести двукратный интеграл к однократному, содержащему множитель В результате, после изменения масштаба в раз, находим

т. е. смешанный момент усредненного по периоду процесса не равен усредненному смешанному моменту исходного периодически-нестационарного процесса Таким образом, для измерения надо располагать устройством, которое при подаче на вход процесса сначала образует произведение и затем усредняет эту величину по периоду Т, а не начинает обработку с усреднения самого процесса

Рассмотрим в заключение два примера.

1. Периодическое повторение отрезка стационарного процесса. Пусть из стационарного случайного процесса со средним значением и смешанным моментом выделен отрезок продолжительности Т, который затем периодически повторяется (рис. 79).

Рис. 79.

Мы получаем, очевидно, периодически-нестационарный процесс с периодом Т. Подсчитаем его среднее значение и момент . Периодическая функция может быть разложена в ряд Фурье. Если выбрать масштаб времени так, чтобы период Т был равен то

или

    (59.18)

где — периодическая (с периодом дельта-функция. Конечно, выражение (59.18) можно было написать и сразу.

Рис. 80.

Усредняя его, получаем очевидный результат:

Далее,

причем это справедливо для области

Эта «ячейка» периодически повторяется на плоскости , т. е. на этой плоскости получается «решетка», изображенная на рис. 80.

Таким образом, если фиксировать , скажем, в интервале то при изменении t в пределах от — до момент будет принимать значение в интервале t от — до в интервале от до . Коэффициенты разложения в ряд Фурье (59.9) будут поэтому

    (59.19)

Для выполнено, конечно, свойство (59.11). В рассматриваемом примере сами коэффициенты — периодические (с периодом функции .

Возьмем для исходного стационарного процесса экспоненциальную функцию корреляции которая при переходит в Из (59.19) получаем

Предельными выражениями при можно, очевидно, пользоваться тогда, когда время корреляции весьма мало по сравнению с периодом повторения . В этом случае вторыми членами в квадратных скобках можно пренебречь, а первые члены дают в пределе на рассматриваемом интервале . На всей оси можно записать в виде

Таким образом, периодическое повторение отрезка белого шума дает опять белый шум, но с периодической дельта-корреляцией.

Если положить [так что ], где не зависит от то при высота скачков , равная будет уменьшаться. Таким образом, при с точностью до получаем очень частое (по сравнению со временем корреляции ) повторение отрезка стационарного процесса дает, как и следовало ожидать, не зависящую от t случайную величину.

2. Квазипериодический импульсный процесс с коррелированными соседними интервалами. Мы имеем в виду специальный случай корреляции между соседними интервалами, а именно тот, когда моменты возникновения импульсов привязаны к строго периодической последовательности Таким образом, , причем Отсюда и вытекает первое сущесгенное отличие данной задачи от рассмотренной в § 46 — наличие определенной отрицательной корреляции между смежными интервалами. Действительно, а значит,

Нетрудно видеть, что диффузия фазы тем самым исключена: дисперсия суммы N интервалов всегда равна сумме дисперсий только двух крайних моментов времени , т. е. составляет

Второе отличие от задачи § 46 состоит в том, что теперь процесс периодически-нестационарен. В частности, если взять

одинаковые импульсы и допустить, что дисперсия разброса стремиться к нулю то мы придем к детерминированному периодическому процессу.

Пусть форма импульса задается, как и в § 42, случайной функцией

    (59.20)

где все независимы между собой и распределены одинаково, так что любые средние значения величин, связанных с не зависят от v. Что касается статистической связи между то мы допустим, что при она возможна. Вводя

получаем для длинного отрезка процесса (59.20) в интервале амплитудную плотность

    (59.21)

где — число средних периодов в интервале

Посмотрим прежде всего, каково среднее значение определяющее среднее значение

    (59.22)

Обозначим

    (59.23)

Тогда

    (59.24)

Но при второй множитель превращается в периодическую дельта-функцию — . Таким образом,

что дает при подстановке в (59.22)

    (59.25)

Найдем теперь функцию корреляции Так как

имеем

    (59.26)

Но, согласно (59.21),

Выделяя члены с и обозначая

получаем отсюда

причем во втором члене . Добавляя и вычитая такие же члены с получаем с учетом (59.24)

Следовательно,

При это дает

и в результате подстановки полученного выражения в (59.26) находим

    (59.27)

Таким образом, как среднее значение (59.25) рассматриваемого процесса, так и его функция корреляции (59.27) являются периодическими (с периодом функциями времени

Для нулевого члена ряда (59.27), равного временному среднему от по периоду

    (59.28)

спектральная плотность есть

    (59.29)

где

Для среднего по периоду от смешанного момента

согласно (59.25) и (59.28), имеем

Следовательно, к непрерывной спектральной плотности (59.29) добавляется еще дискретный спектр

Именно этот спектр, соответствующий усредненному по периоду моменту В процесса (50.20), и был найден в цитированной ранее работе Форте [45], где рассмотрены также различные частные случаи задания импульсов. Если, например,

независимы, то из (59.23) получаем

где характеристическая функция смещений . В отсутствие разброса в моментах возникновения импульсов и плотность сплошного спектра будет тогда

С периодически-нестационарными процессами именно такого типа, как в рассмотренном примере, приходится сталкиваться, в частности, при изучении магнитных шумов в ферромагнетиках, помещенных в периодически меняющееся магнитное поле (шумов циклического перемагничивания) (см. [46], [47], гл. II и [48]).